Polinomi e irriducibilità

[Taniab]

Come posso risolvere questo esercizio?
Determinare per quali n, numeri primi con \( \displaystyle {n}\le{17} \), il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1} \) è irriducibile in \( \displaystyle {Z}_{{n}}{\left[{x}\right]} \).
Non riesco proprio a vedere una possibile soluzione ... ho provato partendo dal fatto che essendo di grado 2 è irriducibile se non ammette radici, ma non mi è servito a molto!

[Martino]

Puoi esaminare i vari casi, sono un numero finito.

C'è un ragionamento più comprensivo in questi casi, che è quello che trovi qui (i polinomi di secondo grado su \( \displaystyle \mathbb{Z}_p \) si possono trattare tutti con la legge di reciprocità quadratica). Il tuo caso è addirittura identico a quello che ho discusso lì: dire che \( \displaystyle x^2+x+1 \) è riducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_p[X] \) significa dire che \( \displaystyle x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4 \) ha uno zero in \( \displaystyle \mathbb{Z}_p \) , equivalentemente \( \displaystyle -3 \) è un quadrato modulo \( \displaystyle p \) , cioè (usando il simbolo di Legendre) \( \displaystyle \left( \frac{-3}{p} \right) = 1 \) .

[Taniab]

Puoi esaminare i vari casi, sono un numero finito.

C'è un ragionamento più comprensivo in questi casi, che è quello che trovi qui (i polinomi di secondo grado su \( \displaystyle \mathbb{Z}_p \) si possono trattare tutti con la legge di reciprocità quadratica). Il tuo caso è addirittura identico a quello che ho discusso lì: dire che \( \displaystyle x^2+x+1 \) è riducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_p[X] \) significa dire che \( \displaystyle x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4 \) ha uno zero in \( \displaystyle \mathbb{Z}_p \) , equivalentemente \( \displaystyle -3 \) è un quadrato modulo \( \displaystyle p \) , cioè (usando il simbolo di Legendre) \( \displaystyle \left( \frac{-3}{p} \right) = 1 \) .

Purtroppo nel mio corso di algebra non abbiamo trattato la parte di teoria riguardante la legge di reciprocità quadratica ... c'è qualche altro modo?

[Gi8]

Prova tutti i casi: in tutto sono sette: \( \displaystyle {2} \), \( \displaystyle {3} \), \( \displaystyle {5} \), \( \displaystyle {7} \), \( \displaystyle {11} \), \( \displaystyle {13} \), \( \displaystyle {17} \)

[Taniab]

ok grazie!

[Stickelberger]

Si puo' anche risolvere l'esercizio senza la reciprocita' quadratica.

Sia \( \displaystyle {n} \) un primo diverso da \( \displaystyle {3} \). Poiche' \( \displaystyle {{x}}^{{3}}-{1}={\left({x}-{1}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{x}+{1}\right)} \), gli zeri di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1} \)
in \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) \( \displaystyle - \)se esistono\( \displaystyle - \) sono gli elementi di ordine \( \displaystyle {3} \) del gruppo moltiplicativo \( \displaystyle {{Z}_{{n}}^{\times}} \).
Il gruppo \( \displaystyle {{Z}_{{n}}^{\times}} \) contiene elementi di ordine \( \displaystyle {3} \) se e solo se il suo ordine \( \displaystyle {n}-{1} \) e' divisibile per \( \displaystyle {3} \).
E quindi la irriducibilita' di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1} \) in \( \displaystyle {Z}_{{n}}{\left[{x}\right]} \) dipende solo dalla classe di \( \displaystyle {n} \) modulo \( \displaystyle {3} \).

[Taniab]

Si puo' anche risolvere l'esercizio senza la reciprocita' quadratica.

Sia \( \displaystyle {n} \) un primo diverso da \( \displaystyle {3} \). Poiche' \( \displaystyle {{x}}^{{3}}-{1}={\left({x}-{1}\right)}{\left({{x}}^{{2}}+{x}+{1}\right)} \), gli zeri di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1} \)
in \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) \( \displaystyle - \)se esistono\( \displaystyle - \) sono gli elementi di ordine \( \displaystyle {3} \) del gruppo moltiplicativo \( \displaystyle {{Z}_{{n}}^{\times}} \).
Il gruppo \( \displaystyle {{Z}_{{n}}^{\times}} \) contiene elementi di ordine \( \displaystyle {3} \) se e solo se il suo ordine \( \displaystyle {n}-{1} \) e' divisibile per \( \displaystyle {3} \).
E quindi la irriducibilita' di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1} \) in \( \displaystyle {Z}_{{n}}{\left[{x}\right]} \) dipende solo dalla classe di \( \displaystyle {n} \) modulo \( \displaystyle {3} \).

Perchè di ordine 3?Ho capito che in pratica le radici di \( \displaystyle {{x}}^{{3}}-{1} \) sono tutti e soli quegli elementi di \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) che hanno periodo 3, ma le radici di \( \displaystyle {{x}}^{{3}}-{1} \) sono le stesse di \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1} \) ?

[Stickelberger]

Hai ragione. Se \( \displaystyle {x} \) e' uno zero di \( \displaystyle {{X}}^{{3}}-{1} \), l'ordine di \( \displaystyle {x} \) divide \( \displaystyle {3} \) ed e'
quindi uguale a \( \displaystyle {1} \) o a \( \displaystyle {3} \). Pero, se l'ordine e' \( \displaystyle {1} \), si ha che \( \displaystyle {x}={1} \).
Il fatto che \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{x}+{1}={0} \) implica adesso che \( \displaystyle {3}={0} \) in \( \displaystyle {Z}_{{n}} \)....
Ecco perche' avevo escluso \( \displaystyle {n}={3} \).

[Taniab]

Ok grazie ,ora ciò che non capisco è : l'ordine di \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) è la sua cardinalità, quindi perchè come ordine intendiamo \( \displaystyle {n}-{1} \) invece di n che è la sua cardinalità?