Polinomi: Fattorizazione MCD, e bezout

[Neptune]

Salve a tutti,
avrei qualche dubbio sui polinomi, ovvero:

Nella traccia tipo mi si dice di fattorizzare due polinomi e di trovare l'mcd, nonchè alle volte mi si chiede anche di trovare l'identità di bezout.

Ora, da quello che so, lavorando qusi sempre in \( \displaystyle {Z}_{{n}} \) cerco le radici sostituendo successivamente, al posto dell'incognita, le varie classi di resto. Quello che mi annula il polinomio allora è una radice. Quindi procedo con ruffini fino ad avere polinomi di primo grado.
Per l'mcd, se li ho ridotti in fattori basta che prendo i fattori comuni oppure posso operare con le divisioni successive.

Quello che mi sfugge, ovvero che mi è stato appena accennato ma non ho capito è: nel caso di polinomi senza radici, come facciamo a fattorizzarli?
Sicuramente non possiamo utilizzare ruffini. Quindi come si può operare in tali casi?

Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.

[aleio2]

Purtroppo non c'è una regola standard. Ci sono algoritmi, criteri, teoremi che funzionano in alcuni ambienti di calcolo e non funzionano in altri. Essendo vastissima la trattazione di un argomento del genere e sapendone io decisamente poco ti rimando alla risposta di qualcun altro.

[Andrea90]

Dunque, la riducibilità di un polinomio non sempre dipende dall'esistenza delle radici. Quindi se ad esempio hai un polinomio di quarto grado da fattorizzare, ma non trovi radici, l'unico modo per fattorizzarlo è quello di ricercare due fattori entrambi di secondo grado... (Nota che non potrai avere mai fattori di primo grado dal momento che il polinomio non ha radici).
Se lavori in \( \displaystyle \mathbb{Q} \) puoi sempre ricondurti ad un polinomio monico e questo può esserti d'aiuto al momento dei calcoli. Questa è una risposta del tutto generale e provvisoria. Con degli esempi ti renderai facilmente conto di quanto scritto.