Polinomi irriducibili di grado che divide $i$ in $ZZ_p[x]$

[blackbishop13]

voglio dimostrare che in $ZZ_p[x]$ anello dei polinomi a coefficienti in $ZZ_p$ (con $p$ primo) si ha:

dato $i in NN-{0}$ ($NN$ escluso lo zero) e $S={g(x) in ZZ_p[x]\ t.c.\ deg(g)\ |\ i\ ^^\ g\ \mbox{irriducibile}\ }$ dove $deg(g)$ è il grado di $g$ allora:

$prod_{g in S} g(x)=x^(p^i)-x$. dimostrazione:

sia $f(x) in ZZ_p[x]$ , $f\ irr.$ , chiamiamo $deg(f)=t$.
la tesi è equivalente a: $f(x)\ |\ x^(p^i)-x$ $\Leftrightarrow$ $t|i$

ma $f(x)\ |\ x^(p^i)-x$ è equivalente a $x^(p^i)-=x\ mod\ (f)$
e siccome $f$ è irriducibile, si ha che $(ZZ_p[x])/(f)$ è un campo di ordine $p^t$ (chiamiamolo ora $F$), e quindi il suo gruppo moltiplicativo ha ordine $p^t-1$
e perciò $x^(p^i)-=x\ mod\ (f)$ è verificata per l'elemento $0$ del campo $F$, ed è vera per gli altri se $x^(p^i-1)-=1$ $AAx in F-{0}$
ovvero se $p^t-1\ |\ p^i-1$
perciò il problema originale si è ridotto a $p^t-1\ |\ p^i-1\ \Leftrightarrow\ t\ |\ i$

cosa ne pensate fino qui, vi pare giusto?

[Martino]

Sì.

Ora scrivi \( \displaystyle i=ta+b \) con \( \displaystyle a,b \geq 0 \) e \( \displaystyle b

[blackbishop13]

Uff, e dire che ovviamente avevo provato un paio di volte a scrivere \( \displaystyle i=at+b \) e ricavare qualcosa, ma non mi era venuto in mente di togliere e aggiungere \( \displaystyle p^b \) .

grazie mille Martino, è una soluzione bella e veloce!

già che siamo qui, visto che non veniva un lato della freccia, ho provato un'altra strada, te lo dico in maniera veloce tanto sono sicuro che cogli al volo:
dato \( \displaystyle f \in \mathbb{Z}_p\left[x\right]\ \text{irriducibile},\ deg\left(f\right)=t \) dimostrare che
\( \displaystyle x^{p^i}-x \equiv 0\ \pmod{f} \Rightarrow t \mid i \)

avevo pensato a questa cosa: sia un campo con \( \displaystyle p^i \) elementi, allora l'ipotesi mi dice che ha un sottocampo con \( \displaystyle p^t \) elementi, da cui la tesi per un teorema noto sulle estensioni di campi. secondo te è corretta?

[Martino]

un teorema noto sulle estensioni di campi

Se intendi la formula dei gradi, sì, sono d'accordo

[blackbishop13]

beh diciamo una sua diretta conseguenza, cioè che \( \displaystyle \mathbb{F,K}\ \text{campi} \) tali che \( \displaystyle |\mathbb{F}|=p^n \) e \( \displaystyle |\mathbb{K}|=p^m \)
allora \( \displaystyle \mathbb{K} \le \mathbb{F} \) ( \( \displaystyle \mathbb{F} \) è un'estensione di \( \displaystyle \mathbb{K} \) ) \( \displaystyle \Leftrightarrow\ m\mid n \)

grazie mille dell' aiuto

[Martino]

Prego