polinomio di terzo grado irriducibile.

[dreamer88]

Devo provare che il polinomio in s, \( \displaystyle {{s}}^{{3}}+{s}+{1}={0} \). dove s appartiene ad L(dico dopo cos'è) non ha radici in L.
\( \displaystyle {L}=\frac{{{Z}{5}{\left[{Y}\right]}}}{{{{Y}}^{{2}}+{2}}} \)

devo sostiturire ad s i 25 elementi di L cioè (1+a, 2+a, 3+a ecc ) e poi verificare che non fa mai zero ,oppure c'è un modo più semplice?
help è importante (:()

[NightKnight]

Dunque, vogliamo sapere se il polinomio \( \displaystyle {p}{\left({X}\right)}={{X}}^{{3}}+{X}+{1}\in{F}_{{25}}{\left[{X}\right]} \) ha radici in \( \displaystyle {L}={F}_{{25}}={F}_{{{{5}}^{{2}}}} \).
Osservimo che \( \displaystyle {p}{\left({X}\right)}\in{F}_{{5}}{\left[{X}\right]} \) e che nel campo \( \displaystyle {F}_{{5}} \) non ha radici (basta verificare che non fa mai zero sui cinque elementi di \( \displaystyle {F}_{{5}} \));
ma per i polinomi di 3° grado, il fatto di non avere radici equivale alla irriducibilità. Perciò \( \displaystyle {p}{\left({X}\right)} \) è irriducibile in \( \displaystyle {F}_{{5}}{\left[{X}\right]} \).
Allora, posto \( \displaystyle {K} \) il campo di spezzamento di \( \displaystyle {p} \) su \( \displaystyle {F}_{{5}} \), si ha, per l'irriducibilità di \( \displaystyle {p} \), \( \displaystyle {K}={F}_{{{{5}}^{{3}}}} \).
Ebbene, \( \displaystyle {K}={F}_{{{{5}}^{{3}}}} \) contiene tutte le radici di \( \displaystyle {p} \).
Ora osserviamo che \( \displaystyle {K}\cap{L}={F}_{{{{5}}^{{3}}}}\cap{F}_{{{{5}}^{{2}}}}={F}_{{5}} \): infatti 2 e 3 sono coprimi.
Allora se \( \displaystyle {p} \) ha qualche radice in \( \displaystyle {L} \) la deve avere in \( \displaystyle {F}_{{5}} \), ma ciò è già stato escluso.
Quindi \( \displaystyle {p} \) non ha radici in \( \displaystyle {L} \).

[laura.]

scusa l'ignoranza..ma cosa intendi tu per \( \displaystyle {F}_{{5}} \)???e quali sono i suoi elementi??è una notazione che non ho mai visto...

[NightKnight]

Sia \( \displaystyle {p} \) un numero primo; allora indico con \( \displaystyle {F}_{{p}} \) il campo \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{p}} \) costituito dalle classi resto degli interi modulo \( \displaystyle {p} \). E fissata una chiusura algebrica di \( \displaystyle {F}_{{p}} \) indico con \( \displaystyle {F}_{{{{p}}^{{n}}}} \) l'unico campo contenuto nella chiusura algebrica che abbia grado \( \displaystyle {n} \) su \( \displaystyle {F}_{{p}} \).
\( \displaystyle {F}_{{{{p}}^{{n}}}} \) è l'unico campo (a meno di isomorfismo) con \( \displaystyle {{p}}^{{n}} \) elementi.

Per capirsi: \( \displaystyle {F}_{{5}} \) è il campo \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{5}} \); e \( \displaystyle {F}_{{25}} \) è l'unico campo contenente \( \displaystyle {F}_{{5}} \) che abbia grado 2 su \( \displaystyle {F}_{{5}} \). Ad esempio \( \displaystyle {F}_{{25}} \) è isomorfo a \( \displaystyle {F}_{{5}}{\left[{Y}\right]}\ \//\ {\left({{Y}}^{{2}}+{1}\right)} \) perché il polinomio \( \displaystyle {{Y}}^{{2}}+{1} \) è irriducibile su \( \displaystyle {F}_{{5}} \).

Attenzione a non confondere \( \displaystyle {F}_{{{{p}}^{{n}}}} \) con \( \displaystyle \mathbb{Z}_{{{{p}}^{{n}}}} \)!! Per \( \displaystyle {n}={1} \) sono la stessa cosa, ma per \( \displaystyle {n}\geq{2} \) no!! Infatti per \( \displaystyle {n}\geq{2} \) il primo è un campo, mentre il secondo non è neanche un dominio d'integrità!

Ti torna?

[laura.]

si grazie!!!!

[dreamer88]

grazie mille per l'aiuto