polinomio di terzo grado

[blackdie]

Il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{p}{x}+{q} \) ha tre radici reali distinte. Provare che \( \displaystyle {p}\lt{0} \).




Ciao!

[karl]

Il risultato si consegue facilmente tramite la formula di Cardano ma si puo'
ottenere anche direttamente.
Poiche' la somma delle radici e' zero ( in quanto il coefficiente di x^2 e' nullo),
le 3 radici non possono essere tutte dello stesso segno con due possibili casi.
A) due radici positive ed una negativa.
In questo caso il prodotto delle radici,dato da -q, e' negativo :-q<0-->q>0.
Pertanto deve essere necessariamente p<0 altrimenti l'equazione non
potrebbe avere radici positive.
B)due radici negative ed una positiva.
In questo caso risulta -q>0-->q<0.Pertanto anche quì deve aversi p<0
altrimenti l'equazione non potrebbe avere radici negative.
Archie.