polinomio irriducibile mi manca l'ultimo passaggio!

[dreamer88]

il mio problema è riguardo teoria delle equzioni e di galois, ma la risoluzione è + in generale...

in pratica ho:un indeterminata U su L (che è un CS \( \displaystyle {L}=\frac{{{Z}{5}{\left[{Y}\right]}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}} \)) e \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{3}}+{{U}}^{{2}}{x}+{{U}}^{{3}} \) appartenente a \( \displaystyle {L}{\left({U}\right)}{\left({x}\right)} \). devo dimostrare che \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) è irriducibile in \( \displaystyle {L}{\left[{U}\right]}{\left[{X}\right]} \) e dedurre che lo è in \( \displaystyle {L}{\left({U}\right)}{\left[{x}\right]} \).
sE PROVO UNA vale l'altra x c'è il se e solo se x il lemma di Gauss.
Allora io cosa faccio : con il principio di identità dei polinomi
scrivo \( \displaystyle {\left({x}-{a}{\left({U}\right)}\right)}{\left({{X}}^{{2}}+{b}{\left({U}\right)}{X}+{m}{\left({U}\right)}\right)} \) e lo pongo uguale a \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{{u}}^{{2}}{x}+{{U}}^{{3}} \).
Si deve risolver eun sistema.
lo SVOLGO:
\( \displaystyle {\left({x}-{a}{\left({U}\right)}\right)}{\left({{X}}^{{2}}+{b}{\left({U}\right)}{X}+{m}{\left({U}\right)}\right)} \)=\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{b}{U}{{x}}^{{2}}+{m}{U}{x}-{a}{U}{{x}}^{{2}}-{a}{b}{{U}}^{{2}}{x}-{a}{m}{{U}}^{{2}} \)
allora il coefficiente del termine \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) deve essere uguale a zero e così via.
il termine in \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) è \( \displaystyle {\left({b}{U}-{a}{U}\right)}={0} \)
poi termine in \( \displaystyle {x} \) : \( \displaystyle {\left({m}{U}-{a}{b}{{U}}^{{2}}\right)}={{U}}^{{2}} \)
e termine noto \( \displaystyle -{a}{m}{{U}}^{{2}}={{U}}^{{3}} \)
dalla prima metto in evidenza \( \displaystyle {U}{\left({b}-{a}\right)}={0} \) segue \( \displaystyle {b}={a} \) oppure \( \displaystyle {U}={0} \)
dalla seconda metto in evidenza U e semplifico \( \displaystyle {U}{\left({m}-{a}{b}{U}\right)}={{U}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {m}-{a}{b}{U}={U} \) segue \( \displaystyle {m}={a}{b}{U}+{U} \) \( \displaystyle {m}={U}{\left({1}+{2}{a}\right)} \)
DALLA TERZA \( \displaystyle -{a}{m}{{U}}^{{2}}={{U}}^{{3}} \) semplifico \( \displaystyle {{U}}^{{2}} \) : \( \displaystyle -{a}{m}={U} \)
sostituisco \( \displaystyle {m} \):
\( \displaystyle -{a}{\left({U}+{2}{a}{U}\right)}={U} \)
\( \displaystyle -{a}{U}-{2}{{a}}^{{2}}{U}={U} \)
viene un'equazione di 2^ grado in a:
\( \displaystyle {2}{{a}}^{{2}}{U}+{a}{U}+{U}={0} \)
ecco allora se dimostro che qst equazione non è mai zero in L allora si arriva ad un assurdo e quindi il polinomio di 3 grado di partenza non si può scomporre e quindi è irriducibile.
Ma non posso utilizzare il delta per trovarmi le radici perchè non sono in caratteristica 0.
Il CAMPO DI SPEZZAMENTO é \( \displaystyle {L}=\frac{{{Z}{5}{\left[{Y}\right]}}}{{{{Y}}^{{2}}+{2}}} \)...ma \( \displaystyle {2}{{a}}^{{2}}{U}+{a}{U}+{U}={0} \) lo devo risolvere il \( \displaystyle {L}{\left[{U}\right]} \) giusto? e quindi? a questo punto sono bloccata...all'ultimo passaggio. Ho provato a sostituire al posto della a =0,1,2,3,4 ma non siamo in \( \displaystyle {Z}{5} \) ma in L e quindi sbaglio vero?
non sto capendo + niente... xfavore aiutami è solo qst...

[vict85]

il mio problema è riguardo teoria delle equzioni e di galois, ma la risoluzione è + in generale...

in pratica ho:un indeterminata U su L (che è un CS \( \displaystyle {L}=\frac{{{Z}{5}{\left[{Y}\right]}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}} \)) e \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}}={{x}}^{{3}}+{{U}}^{{2}}{x}+{{U}}^{{3}} \) appartenente a \( \displaystyle {L}{\left({U}\right)}{\left({x}\right)} \). devo dimostrare che \( \displaystyle {g{{\left({x}\right)}}} \) è irriducibile in \( \displaystyle {L}{\left[{U}\right]}{\left[{X}\right]} \) e dedurre che lo è in \( \displaystyle {L}{\left({U}\right)}{\left[{x}\right]} \).
sE PROVO UNA vale l'altra x c'è il se e solo se x il lemma di Gauss.
Allora io cosa faccio : con il principio di identità dei polinomi
scrivo \( \displaystyle {\left({x}-{a}{\left({U}\right)}\right)}{\left({{X}}^{{2}}+{b}{\left({U}\right)}{X}+{m}{\left({U}\right)}\right)} \) e lo pongo uguale a \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{{u}}^{{2}}{x}+{{U}}^{{3}} \).
Si deve risolver eun sistema.
lo SVOLGO:
\( \displaystyle {\left({x}-{a}{\left({U}\right)}\right)}{\left({{X}}^{{2}}+{b}{\left({U}\right)}{X}+{m}{\left({U}\right)}\right)}={{x}}^{{3}}+{b}{U}{{x}}^{{2}}+{m}{U}{x}-{a}{U}{{x}}^{{2}}-{a}{b}{{U}}^{{2}}{x}-{a}{m}{{U}}^{{2}} \)

Attenzione la \( \displaystyle {U} \) non è un divisore di \( \displaystyle {a}{\left({U}\right)} \) ma solo la sua indeterminata.

Quindi o scrivi \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{b}{\left({U}\right)}{{x}}^{{2}}+{m}{\left({U}\right)}{x}-{a}{\left({U}\right)}{{x}}^{{2}}-{a}{\left({U}\right)}{b}{{\left({U}\right)}}^{{2}}{x}-{a}{\left({U}\right)}{m}{\left({U}\right)} \) oppure \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{b}{{x}}^{{2}}+{m}{x}-{a}{{x}}^{{2}}-{a}{{b}}^{{2}}{x}-{a}{m} \) semplicemente dando per scontato il fatto che sono polinomi nella \( \displaystyle {U} \).
Io userò quest'ultima per comodità...

allora il coefficiente del termine \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) deve essere uguale a zero e così via.
il termine in \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \) è \( \displaystyle {\left({b}{U}-{a}{U}\right)}={0} \)
poi termine in \( \displaystyle {x} \) : \( \displaystyle {\left({m}{U}-{a}{b}{{U}}^{{2}}\right)}={{U}}^{{2}} \)
e termine noto \( \displaystyle -{a}{m}{{U}}^{{2}}={{U}}^{{3}} \)

Per lo stesso discorso di prima abbiamo:
\( \displaystyle {\left({b}{\left({U}\right)}-{a}{\left({U}\right)}\right)}={0} \) oppure \( \displaystyle {\left({b}-{a}\right)}={0} \)
\( \displaystyle {\left({m}{\left({U}\right)}-{a}{\left({U}\right)}{b}{\left({U}\right)}\right)}={{U}}^{{2}} \) oppure \( \displaystyle {m}-{a}{b}={{U}}^{{2}} \)
\( \displaystyle -{a}{\left({U}\right)}{m}{\left({U}\right)}={{U}}^{{3}} \) oppure \( \displaystyle -{a}{m}={{U}}^{{3}} \)

dalla prima metto in evidenza \( \displaystyle {U}{\left({b}-{a}\right)}={0} \) segue \( \displaystyle {b}={a} \) oppure \( \displaystyle {U}={0} \)

no, solamente \( \displaystyle {a}={b} \). Quindi da questo momento elimini \( \displaystyle {b} \) dalle formule. Inoltre \( \displaystyle {U} \) non appartiene a \( \displaystyle {L} \).

dalla seconda metto in evidenza U e semplifico \( \displaystyle {U}{\left({m}-{a}{b}{U}\right)}={{U}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {m}-{a}{b}{U}={U} \) segue \( \displaystyle {m}={a}{b}{U}+{U} \) \( \displaystyle {m}={U}{\left({1}+{2}{a}\right)} \)

Qui hai fatto l'errore di raccogliere una \( \displaystyle {U} \) che non c'era. Inoltre non ho capito il perché hai scritto \( \displaystyle {a}{b}={2}{a} \), quella è una moltiplicazione e quindi viene \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={{U}}^{{2}} \) cioè \( \displaystyle {m}={{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}} \)

DALLA TERZA \( \displaystyle -{a}{m}{{U}}^{{2}}={{U}}^{{3}} \) semplifico \( \displaystyle {{U}}^{{2}} \) : \( \displaystyle -{a}{m}={U} \)
sostituisco \( \displaystyle {m} \):
\( \displaystyle -{a}{\left({U}+{2}{a}{U}\right)}={U} \)
\( \displaystyle -{a}{U}-{2}{{a}}^{{2}}{U}={U} \)
viene un'equazione di 2^ grado in a:
\( \displaystyle {2}{{a}}^{{2}}{U}+{a}{U}+{U}={0} \)
ecco allora se dimostro che qst equazione non è mai zero in L allora si arriva ad un assurdo e quindi il polinomio di 3 grado di partenza non si può scomporre e quindi è irriducibile.
Ma non posso utilizzare il delta per trovarmi le radici perchè non sono in caratteristica 0.
Il CAMPO DI SPEZZAMENTO é \( \displaystyle {L}=\frac{{{Z}{5}{\left[{Y}\right]}}}{{{{Y}}^{{2}}+{2}}} \)...ma \( \displaystyle {2}{{a}}^{{2}}{U}+{a}{U}+{U}={0} \) lo devo risolvere il \( \displaystyle {L}{\left[{U}\right]} \) giusto? e quindi? a questo punto sono bloccata...all'ultimo passaggio. Ho provato a sostituire al posto della a =0,1,2,3,4 ma non siamo in \( \displaystyle {Z}{5} \) ma in L e quindi sbaglio vero?
non sto capendo + niente... xfavore aiutami è solo qst...

In realtà sbagli perché prima di tutto \( \displaystyle {a}\in{L}{\left[{U}\right]} \) e non in \( \displaystyle {L} \), come secondo cosa inoltre non viene quella equazione di secondo grado ma l'equazione \( \displaystyle -{a}{{U}}^{{2}}+{{a}}^{{3}}={{U}}^{{3}} \) cioè \( \displaystyle {{U}}^{{3}}+{a}{{U}}^{{2}}-{{a}}^{{3}}={0} \).

Per i passaggi successivi ci devo pensare. Comunque si può anche lavorare sul polinomio di secondo grado in \( \displaystyle {X} \): \( \displaystyle {{X}}^{{2}}+{a}{X}+{{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}} \)

[dreamer88]

capito, adesso correggo. ma iN \( \displaystyle \frac{{{Z}{5}{\left[{Y}\right]}}}{{{{y}}^{{2}}+{2}}}= \) L ci sono 25 elementi:
1 ,2 3, 4 ,5, a, 1+a, 2+a, 3+a, 4+a, 2a, 1+2a....ecc non è che per verificare che quell'ultimo polinomio di secondo grado trovato è irriducibile basta sostituire il 25 elementi che ho elencato e vedere che nessuno di quei 25 è radice? o con il fatto che c'è la u nel polinomio non si può verificare in questo modo?

[dreamer88]

Quindi o scrivi \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{b}{\left({U}\right)}{{x}}^{{2}}+{m}{\left({U}\right)}{x}-{a}{\left({U}\right)}{{x}}^{{2}}-{a}{\left({U}\right)}{b}{{\left({U}\right)}}^{{2}}{x}-{a}{\left({U}\right)}{m}{\left({U}\right)} \) oppure \( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{b}{{x}}^{{2}}+{m}{x}-{a}{{x}}^{{2}}-{a}{{b}}^{{2}}{x}-{a}{m} \) semplicemente dando per scontato il fatto che sono polinomi nella \( \displaystyle {U} \).
Io userò quest'ultima per comodità...

viene
\( \displaystyle {{x}}^{{3}}+{b}{\left({U}\right)}{{x}}^{{2}}+{m}{\left({U}\right)}{x}-{a}{\left({U}\right)}{{x}}^{{2}}-{a}{\left({U}\right)}{b}{\left({U}\right)}{x}-{a}{\left({U}\right)}{m}{\left({U}\right)} \) cioè l'ultimo termine è -\( \displaystyle {a}{\left({u}\right)}{b}{\left({u}\right)}{x} \) non \( \displaystyle -{a}{\left({u}\right)}{b}{{\left({u}\right)}}^{{2}} \)
giusto?

[dreamer88]

dalla seconda metto in evidenza U e semplifico \( \displaystyle {U}{\left({m}-{a}{b}{U}\right)}={{U}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {m}-{a}{b}{U}={U} \) segue \( \displaystyle {m}={a}{b}{U}+{U} \) \( \displaystyle {m}={U}{\left({1}+{2}{a}\right)} \)

Qui hai fatto l'errore di raccogliere una \( \displaystyle {U} \) che non c'era. Inoltre non ho capito il perché hai scritto \( \displaystyle {a}{b}={2}{a} \), quella è una moltiplicazione e quindi viene \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={{U}}^{{2}} \) cioè \( \displaystyle {m}={{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}} \)

ma allora se scrivo \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}} \) e quindi sto togliendo una U, allora non deve essere \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={U} \)?
e allora \( \displaystyle {m}={u}+{{a}}^{{2}} \)
da -a(U)m(U)=U^3
non segue -am=u?
cioè -a(u)m(U)=-am(u)^2?
ma se pongo -am=u^3 qui hai sbagliato un segno perkè m=U +a^2 opp u^2+a^2, perkè non ho capito bene cm si tolgono queste u...
e quindi il polinomio finale è con tutti +..o sbaglio?

In realtà sbagli perché prima di tutto \( \displaystyle {a}\in{L}{\left[{U}\right]} \) e non in \( \displaystyle {L} \), come secondo cosa inoltre non viene quella equazione di secondo grado ma l'equazione \( \displaystyle -{a}{{U}}^{{2}}+{{a}}^{{3}}={{U}}^{{3}} \) cioè \( \displaystyle {{U}}^{{3}}+{a}{{U}}^{{2}}-{{a}}^{{3}}={0} \).

NON VIENE CON IL +?

[vict85]

Per la cosa della scritta sopra si: è \( \displaystyle -{a}{\left({U}\right)}{b}{\left({U}\right)}{x} \), avevo copiato dal tuo e mi ero dimenticato di togliere quel due...

Non capisco come fa a venirti \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={u} \) se è \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={{u}}^{{2}} \).

In ogni caso:
\( \displaystyle -{a}{m}={{U}}^{{3}} \)
Da cio si deduce \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}+{g{{r}}}{\left({m}\right)}={3} \), inoltre si sa che \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}\ge{1} \) e quindi \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({m}\right)}\le{2} \)
\( \displaystyle -{a}{m}={U}{\left({m}-{{a}}^{{2}}\right)} \)
\( \displaystyle {U}{m}-{U}{{a}}^{{2}}+{a}{m}={0} \)
\( \displaystyle {m}{\left({a}+{U}\right)}={U}{{a}}^{{2}} \)
Quindi \( \displaystyle {U}{\mid}{m} \) oppure \( \displaystyle {U}{\mid}{a} \). Se \( \displaystyle {U}{\mid}{m} \) allora \( \displaystyle {U}{\mid}{\left({{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {U}{\mid}{{a}}^{{2}} \) cioé \( \displaystyle {U}{\mid}{a} \) perché \( \displaystyle {U} \) è irriducibile. In modo analogo si giunge al fatto che se \( \displaystyle {U}{\mid}{a} \) allora \( \displaystyle {U}{\mid}{m} \).
Ponamo:
\( \displaystyle {m}={U}{t} \)
\( \displaystyle {a}={U}{s} \)
Inoltre \( \displaystyle {U}{t}={{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}}={{U}}^{{2}}{\left({1}+{{s}}^{{2}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {t}={U}{\left({1}+{{s}}^{{2}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {m}={{U}}^{{2}}{\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)} \) da cui si deduce che \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({m}\right)}={2}+{g{{r}}}{\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)}\ge{2} \) e quindi \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({m}\right)}={2} \), \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)}={g{{r}}}{\left({{s}}^{{2}}\right)}={0} \) e quindi \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}={1} \).

Sostituendo e semplificando abbiamo che \( \displaystyle {\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)}{\left({s}+{1}\right)}={{s}}^{{2}} \) cioé \( \displaystyle {{s}}^{{3}}+{s}+{1}={0} \) dove \( \displaystyle {s}\in{L} \).
Quindi basta dimostrare che il polinomio in \( \displaystyle {s} \) scritto sopra non ha radici in \( \displaystyle {L} \).

P.S: sempre che non abbia fatto errori nei calcoli prima...

[dreamer88]

Per la cosa della scritta sopra si: è \( \displaystyle -{a}{\left({U}\right)}{b}{\left({U}\right)}{x} \), avevo copiato dal tuo e mi ero dimenticato di togliere quel due...

Non capisco come fa a venirti \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={u} \) se è \( \displaystyle {m}-{{a}}^{{2}}={{u}}^{{2}} \)

perchè scrivo \( \displaystyle {m}{\left({u}\right)}-{{a}}^{{2}}{\left({u}\right)}={{U}}^{{2}} \)metto in evidenza una U e quindi rimane solo U al secondo membro...forse non ho capito il ragionameto..perkè scompare la U al primo menbro e al secondo membro no..

In ogni caso:
\( \displaystyle -{a}{m}={{U}}^{{3}} \)
Da cio si deduce \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}+{g{{r}}}{\left({m}\right)}={3} \), inoltre si sa che \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}\ge{1} \) e quindi \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({m}\right)}\le{2} \)
\( \displaystyle -{a}{m}={U}{\left({m}-{{a}}^{{2}}\right)} \)
\( \displaystyle {U}{m}-{U}{{a}}^{{2}}+{a}{m}={0} \)
\( \displaystyle {m}{\left({a}+{U}\right)}={U}{{a}}^{{2}} \)
Quindi \( \displaystyle {U}{\mid}{m} \) oppure \( \displaystyle {U}{\mid}{a} \). Se \( \displaystyle {U}{\mid}{m} \) allora \( \displaystyle {U}{\mid}{\left({{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {U}{\mid}{{a}}^{{2}} \) cioé \( \displaystyle {U}{\mid}{a} \) perché \( \displaystyle {U} \) è irriducibile. In modo analogo si giunge al fatto che se \( \displaystyle {U}{\mid}{a} \) allora \( \displaystyle {U}{\mid}{m} \).
Ponamo:
\( \displaystyle {m}={U}{t} \)
\( \displaystyle {a}={U}{s} \)
Inoltre \( \displaystyle {U}{t}={{U}}^{{2}}+{{a}}^{{2}}={{U}}^{{2}}{\left({1}+{{s}}^{{2}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {t}={U}{\left({1}+{{s}}^{{2}}\right)} \) e quindi \( \displaystyle {m}={{U}}^{{2}}{\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)} \) da cui si deduce che \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({m}\right)}={2}+{g{{r}}}{\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)}\ge{2} \) e quindi \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({m}\right)}={2} \), \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)}={g{{r}}}{\left({{s}}^{{2}}\right)}={0} \) e quindi \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}={1} \)

ma \( \displaystyle {g{{r}}}{\left({a}\right)}+{g{{r}}}{\left({m}\right)}={3} \)...? gr è il grado?!

Sostituendo e semplificando abbiamo che \( \displaystyle {\left({{s}}^{{2}}+{1}\right)}{\left({s}+{1}\right)}={{s}}^{{2}} \) cioé \( \displaystyle {{s}}^{{3}}+{s}+{1}={0} \) dove \( \displaystyle {s}\in{L} \).
Quindi basta dimostrare che il polinomio in \( \displaystyle {s} \) scritto sopra non ha radici in \( \displaystyle {L} \).


P.S: sempre che non abbia fatto errori nei calcoli prima...

E io posso trovare le radici in Z5...ma il L come faccio? Devo sostituire tutti i 25 elementi e vedere che non fa mai zero?