polinomio irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Q} \)

[angus89]

Dimostrare che \( \displaystyle {p}{\left({x}\right)}={\left({x}-{a}_{{1}}\right)}{\left({x}-{a}_{{2}}\right)}\ldots{\left({x}-{a}_{{n}}\right)}-{1} \), dove gli \( \displaystyle {a}_{{i}} \) sono interi e a due a due distinti, e' irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Q} \)

Ovviamente si dovrebbe usare Eisenstein, e sviluppare in qualche modo il polinomio, ma prioprio non torna.

[Martino]

Ovviamente si dovrebbe usare Eisenstein

Secondo me Eisenstein non serve.

Il problema era stato gia' proposto qui, anche se nessuno ha postato dimostrazioni. L'idea e' mostrare che \( \displaystyle p(x) \) e' irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{Z} \) (da cui l'irriducibilita' su \( \displaystyle \mathbb{Q} \) ), scrivere \( \displaystyle p(x)=f(x)g(x) \) con \( \displaystyle f,g \) polinomi su \( \displaystyle \mathbb{Z} \) monici ed osservare che \( \displaystyle -1=p(a_i)=f(a_i)g(a_i) \) , da cui \( \displaystyle f(a_i)=-g(a_i)=\pm 1 \) . Ora conviene considerare i polinomi \( \displaystyle f(x) \pm 1 \) , \( \displaystyle g(x) \pm 1 \) .