Polinomio P(x,y) - SNS 1991

[elios]

Salve! Diciamo che non mi sono fatta pregare per proporre un altro esercizio..

"Costruire un polinomio (a coefficienti reali) \( \displaystyle {P}{\left({x},{y}\right)}={a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}{y}+{c}{{y}}^{{2}} \) verificante le proprietà:
a) \( \displaystyle {P}{\left({x},{y}\right)}={0} \) soltanto per \( \displaystyle {x}={y}={0} \),
b) se \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) sono due numeri interi allora anche \( \displaystyle {P}{\left({x},{y}\right)} \) è un intero.

Determinare poi il massimo della quantità \( \displaystyle {{b}}^{{2}}-{4}{a}{c} \) al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti."

Allora, per imporre la proprietà a), ho pensato di considerare \( \displaystyle {a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}{y}+{c}{{y}}^{{2}}={0} \) come un'equazione di secondo grado, ricavando prima \( \displaystyle {x} \) e poi \( \displaystyle {y} \) per imporre che non sia possibile trovare una \( \displaystyle {x} \) che al variare di \( \displaystyle {y} \) renda il polinomio nullo e viceversa una \( \displaystyle {y} \) al variare della \( \displaystyle {x} \). Cioè ottengo le due soluzioni
\( \displaystyle {x}_{{{1},{2}}}=\frac{{-{b}{y}\pm\sqrt{{{{b}}^{{2}}{{y}}^{{2}}-{4}{a}{c}{{y}}^{{2}}}}}}{{{2}{a}}} \)
\( \displaystyle {y}_{{{1},{2}}}=\frac{{-{b}{x}\pm\sqrt{{{{b}}^{{2}}{{x}}^{{2}}-{4}{a}{c}{{x}}^{{2}}}}}}{{{2}{a}}} \).
Per far sì che queste soluzioni non diano dei risultati reali di \( \displaystyle {x} \) o \( \displaystyle {y} \) (in tal caso sostituendo tali valori, che sono diversi da zero, al polinomio, esso si annullerebbe), impongo il delta minore di zero e cioè \( \displaystyle {{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}\lt{0} \).
Per imporre la proprietà b), suppongo che basti imporre che i coefficienti \( \displaystyle {a} \), \( \displaystyle {b} \), \( \displaystyle {c} \) siano interi.
Con tali condizioni, scrivo ad esempio il polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x},{y}\right)}={{x}}^{{2}}+{x}{y}+{{y}}^{{2}} \)

Per determinare il massimo del delta ho molte difficoltà. Come ho detto prima, deve essere minore strettamente di zero, e quindi mi verrebbe da dire che non c'è un massimo di quella quantità ma solo un estremo superiore che è, appunto, zero.
Queste sono le mie ipotesi.

Grazie mille dell'aiuto.

[giammaria]

Sia n un numero intero non nullo; allora \( \displaystyle {P}{\left({n},{0}\right)}={a}{{n}}^{{2}} \) non deve essere nullo, quindi \( \displaystyle {a}\ne{0} \) e deve essere intero per ogni n, quindi \( \displaystyle {a} \) è intero. Analogamente, \( \displaystyle {c} \) è un intero non nullo; per verificare la seconda condizione anche \( \displaystyle {b} \) deve essere intero. Ne consegue che è intero anche \( \displaystyle \Delta={{b}}^{{2}}-{4}{a}{c} \) e poichè, come giustamente noti, deve essere negativo, il suo valore massimo è -1.

[blackbishop13]

il punto a mi pare tu l'abbia fatto bene, poi un paio di considerazioni: è vero che il massimo per \( \displaystyle \Delta \) non c'è se conti solo la condizione a, ma dovrà venir fuori se includi anche la condizione b.

allora: se tu vuoi avere \( \displaystyle {a},{b},{c} \) interi, ne consegue che \( \displaystyle \Delta \) sarà un numero intero, ovviamente.
e perciò devi trovare il minore \( \displaystyle \Delta \) possibile che rispetti tre proprietà:
essere minore di \( \displaystyle {0} \)
essere intero (ovviamente questo aiuta enormemente)
tale che esistano \( \displaystyle {a},{b},{c} \) tali che \( \displaystyle \Delta={{b}}^{{2}}-{4}{a}{c} \) (non è da sottovalutare, anzi...)

però rimane ancora da dimostrare che è necessario che \( \displaystyle {a},{b},{c} \) siano interi.

EDIT: ok giammaria ha dimostrato che devono essere interi, bene.
ma... il risultato non mi piace....

[giammaria]

Hai ragione; il massimo è -3. Infatti, posto \( \displaystyle {{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}=-{k} \), se ne deduce che \( \displaystyle {A}={{b}}^{{2}}+{k} \) deve essere divisibile per 4.
Per k=1, se \( \displaystyle {b} \) è pari A è dispari; se \( \displaystyle {b} \) è dispari A è pari ma non divisibile per 4.
Per k=2 vale lo stesso a parità invertite.
Per k=3 non ci sono problemi; \( \displaystyle {b} \) deve essere dispari. Una possibile soluzione è \( \displaystyle {a}={b}={c}={1} \)

[elios]

Ah, giusto, non consideravo più la seconda condizione... Grazie Grazie Grazie!
A me la dimostrazione di giammaria sembra sufficiente, no?
Devo ammettere di non aver capito l'ultimo intervento di giammaria..
Grazie ancora!

[Steven]

Ponendo \( \displaystyle {{b}}^{{2}}-{4}{a}{c}=-{k} \) si ha che \( \displaystyle {{b}}^{{2}}+{k}={4}{a}{c} \) ovvero \( \displaystyle {{b}}^{{2}}+{k}\equiv{0}{\left(\text{mod}{4}\right)} \) (la somma è multiplo di 4).

Ora dobbiamo cercare il massimo \( \displaystyle -{k} \) (che è negativo), cioè il minimo \( \displaystyle {k} \) (che è positivo).

Giammaria ha visto i primi casi, se \( \displaystyle {k}={1},{2} \) non si può. Siccome per \( \displaystyle {k}={3} \) non ci sono assurdi, quello è il valore cercato, è il minimo.
Sotto niente.

\( \displaystyle {{b}}^{{2}}+{1} \) infatti non è mai multiplo di \( \displaystyle {4} \): dovendo infatti essere \( \displaystyle {b} \) dispari, ho \( \displaystyle {b}={2}{n}+{1} \) cioè \( \displaystyle {{\left({2}{n}+{1}\right)}}^{{2}}+{1} \) ovvero

\( \displaystyle {4}{{n}}^{{2}}+{4}{n}+{2} \) che vale \( \displaystyle {2} \) e non \( \displaystyle {0} \) modulo 4.

\( \displaystyle {{b}}^{{2}}+{2} \) ugualmente, se pari, vale 2 modulo 4 e mai zero.

Ti torna ora?

[elios]

Sì tutto chiaro adesso. Grazie Steve!