polinomio

[miuemia]

Sia $f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$.
Se è irriducibile su $QQ$ allora $p$ è un numero primo...
non riesco proprio a farlo qualche consiglio???

[Fioravante Patrone]

$f(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 = x^3 (x^{2}+x+1) +x^{2}+x+1 $

non è che questa idea della scomposizione in fattori parziali funge?

[miuemia]

ma non è il polinomio che studio io in quanto se $p-1=5=>p=6$ e non è primo...

[Martino]

ma non è il polinomio che studio io in quanto se $p-1=5=>p=6$ e non è primo...

...

[rubik]

io posto la soluzione che ho trovato nel mio libro di algebra

sia $f(x)$ un polinomio appartenente a $K[x]$ e sia $alphainK$ allora
$f(x)$ è irriducibile su K $hArr$ $f(x-alpha)$ è irriducibile su K

fatta questa premessa osserviamo che $x^(p-1)+x^(p-2)+...+x+1=(x^p-1)/(x-1)$

ora facciamo la sostituzione $x -> x+1$ otteniamo:

$((x+1)^p-1)/((x+1)-1)=(sum_(k=0)^p((p),(k))x^(p-k)-1)/x=x^(p-1)+((p),(1))x^(p-2)+((p),(2))x^(p-3)+...+p$

ora si può applicare il metodo di Eisenstein

[miuemia]

si ma questa è l'implicazione inversa cioè se $p$ è primo allora $f(x)$ è irriducibile per Eisenstein.... l'altra implicazione chiedevo...

[Fioravante Patrone]

nessuno si fidi mai dei miei conti, questo è il general disclaimer

ma il mio discorso era questo:
se $p$ non è primo, ad esempio $p=6$, si dovrebbe riuscire a fare la scomposizione come nell'esempio

in altre parole, l'idea è di provare la contrapposta: se $p$ non è primo posso scomporre

[rubik]

si ma questa è l'implicazione inversa cioè se $p$ è primo allora $f(x)$ è irriducibile per Eisenstein.... l'altra implicazione chiedevo...

ops pardon!

[miuemia]

quello che dici tu fioravante funziona quando $p$ è pari perchè ho un numero pari di addendi e riesco a fare una scomposizione di quel genere ma ad esempio:
$x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ come lo scompongo???

[Martino]

$f(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 = x^3 (x^{2}+x+1) +x^{2}+x+1 $

non è che questa idea della scomposizione in fattori parziali funge?

Ho dei dubbi riguardo al caso in cui $p$ è dispari e non primo.