Algebra: Elementi massimali e minimali

[Martino]

$X=ZZ$
$a rho b:\ \{(a^2 < b^2),(a ge b\ a^2=b^2):}$

Un'osservazione: mi pare che tu abbia completamente ignorato la parte "$a^2<b^2$". L'hai dato per scontato? Così com'è la tua dimostrazione non è completa.
Invece riflessività e antisimmetria le hai dimostrate come si deve.

a dire il vero l'avevo presa in considerazione all'inizio con la riflessività e ho visto che qualcosa non mi quadrava, quindi l'ho eliminata definitivamente ehehe in realtà si con la transitività si può usare.. però perchè non la dovrei usare anche con riflessività e antisimmetria? io con la seconda equazione prendo già in considerazione sia elementi positivi che negativi che zero no?

Quando dimostri riflessività e antisimmetria puoi "procedere senza commenti" come hai fatto, ma ora che me l'hai detto, ti faccio vedere come farei io:

E' riflessiva perché se $a in ZZ$ allora $a ge a$ e $a^2=a^2$, quindi $a rho a$.
E' antisimmetrica perché se $a,b in ZZ$ e $a rho b$ e $b rho a$ allora non è possibile che $a^2 < b^2$ perché in tal caso non si potrebbe avere $b rho a$ (in quanto questo implica $a^2=b^2$ oppure $b^2<a^2$), e quindi $a^2=b^2$. In questo caso si ha $a ge b$ perché $a rho b$ e $a le b$ perché $b rho a$, e quindi $a=b$.
La transitività è un po' più lunga, bisogna distinguere tutti i casi.

$X=NxN$ e ci sono $(a,b)\rho(c,d)$ gli elementi massimali come sono? cioè sono $(a,b)\ne(c,d)$ e $(a,b)(c,d)\notinX$ ?

In generale se hai $X$ con una relazione d'ordine $rho$, un elemento massimale (come abbiamo già detto) è un $x in X$ tale che non esiste nessun $x ne y in X$ tale che $x rho y$.

[whiterabbit]

$X=ZZ$
$a rho b:\ \{(a^2 < b^2),(a ge b\ a^2=b^2):}$


In generale se hai $X$ con una relazione d'ordine $rho$, un elemento massimale (come abbiamo già detto) è un $x in X$ tale che non esiste nessun $x ne y in X$ tale che $x rho y$.

Quindi sarà sempre e comunque un elemento solo non una coppia di elementi?


$X=ZZ""{0}$
$a rho b:\ \{(a < 0 b\leqa),(a > 0 b < 0),(a > 0 b > 0 b|a):}$

Riflessività:

$a\rhoa$ , quando $a<0$ $a\leqa$. quando $a>0$ , $a|a$ quindi $a\rhoa$

Antisimmetrica:

$a\rhob$ e $b\rhoa$ allora $a=b$

$a<0$ , $b\leqa$ --- $a>0$ , $b>0$ , $b|a$
$b<0$ , $a\leqb$ --- $b>0$ , $a>0$, $a|b$

Quindi possiamo asserire che $a=b$

Transitiva:

$a\rhob$ e $b\rhoc$ allora $a\rhoc$

$a<0$ , $b\leqa$ --- $a>0$ , $b>0$ , $b|a$
$b<0$ , $c\leqb$ --- $b>0$ , $c>0$ , $c|b$

quindi $a<0$ , $c\leqa$ --- $a>0$ , $c>0$ , $c|a$

Ed ora viene il bello.

Elementi Massimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in X$ , $x \ne a$ e $(x,a)\notin\rho$

Ora, dimmi se sbaglio. $0$ non serve nemmeno dirlo $0\notinX$ quindi non lo consideriamo.

se $x>0$ , $x$ non è massimale perchè $x\rho(a<0)$ $\forall x >0$
se $x<0$ , $x$ non è massimale perchè $x\rho(x-1)$ e $x\ne(x-1)$

Quindi possiamo affermare che NON ci sono elementi massimali. (speremo ben )

Elementi Minimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in X$ $a\nex$ e $(a,x)\notin\rho$

se $x<0$ , $x$ non è minimale perchè $(a>0)\rhox$ $\forall x <0$

se $x>0$ , $x$ non è minimale perchè ad esempio $(x*2)\rhox$ e $(x*2)\nex$

Potremmo esserci?

[Martino]

Potremmo esserci?

Non proprio, ma stai facendo un buon lavoro

Quindi sarà sempre e comunque un elemento solo non una coppia di elementi?

La questione è di ordine diverso: se $X$ è un insieme di coppie è chiaro che gli elementi saranno coppie. No?

$X=ZZ-{0}$
$a rho b:\ \{(a < 0 b\leqa),(a > 0 b < 0),(a > 0 b > 0 b|a):}$

Riflessività:

$a\rhoa$ , quando $a<0$ $a\leqa$. quando $a>0$ , $a|a$ quindi $a\rhoa$

Questa va bene.

Antisimmetrica:

$a\rhob$ e $b\rhoa$ allora $a=b$

$a<0$ , $b\leqa$ --- $a>0$ , $b>0$ , $b|a$
$b<0$ , $a\leqb$ --- $b>0$ , $a>0$, $a|b$

Quindi possiamo asserire che $a=b$

Questa invece non l'ho capita: non puoi spendere un po' più di parole in merito?
Io distinguerei quattro casi: ipotizzato $a rho b$ e $b rho a$,

$a>0$, $b>0$. In questo caso $a|b$ e $b|a$, quindi $a=b$;
$a<0$, $b>0$. Questo caso non si può verificare dato che da $a<0$ segue $b le a$, assurdo perché $b>0$;
$a>0$, $b<0$. Questo caso non si può verificare dato che da $b<0$ segue $a le b$, assurdo perché $a>0$;
$a<0$, $b<0$. In questo caso $b le a$ e $a le b$, da cui $a=b$.

Transitiva:

$a\rhob$ e $b\rhoc$ allora $a\rhoc$

$a<0$ , $b\leqa$ --- $a>0$ , $b>0$ , $b|a$
$b<0$ , $c\leqb$ --- $b>0$ , $c>0$ , $c|b$

quindi $a<0$ , $c\leqa$ --- $a>0$ , $c>0$ , $c|a$

Nemmeno questa l'ho capita. Prova ad essere più dettagliato: distingui i quattro casi come ho fatto io per l'antisimmetria.

Ed ora viene il bello.

Elementi Massimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in X$ , $x \ne a$ e $(x,a)\notin\rho$

Ora, dimmi se sbaglio. $0$ non serve nemmeno dirlo $0\notinX$ quindi non lo consideriamo.

se $x>0$ , $x$ non è massimale perchè $x\rho(a<0)$ $\forall x >0$
se $x<0$ , $x$ non è massimale perchè $x\rho(x-1)$ e $x\ne(x-1)$

Quindi possiamo affermare che NON ci sono elementi massimali. (speremo ben )

Perfetto.

Elementi Minimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in X$ $a\nex$ e $(a,x)\notin\rho$

se $x<0$ , $x$ non è minimale perchè $(a>0)\rhox$ $\forall x <0$

se $x>0$ , $x$ non è minimale perchè ad esempio $(x*2)\rhox$ e $(x*2)\nex$

Perfetto.

[whiterabbit]

Quindi sarà sempre e comunque un elemento solo non una coppia di elementi?

La questione è di ordine diverso: se $X$ è un insieme di coppie è chiaro che gli elementi saranno coppie. No?

chiaro.

Antisimmetrica:

$a\rhob$ e $b\rhoa$ allora $a=b$

$a<0$ , $b\leqa$ --- $a>0$ , $b>0$ , $b|a$
$b<0$ , $a\leqb$ --- $b>0$ , $a>0$, $a|b$

Quindi possiamo asserire che $a=b$

Questa invece non l'ho capita: non puoi spendere un po' più di parole in merito?
Io distinguerei quattro casi: ipotizzato $a rho b$ e $b rho a$,

$a>0$, $b>0$. In questo caso $a|b$ e $b|a$, quindi $a=b$;
$a<0$, $b>0$. Questo caso non si può verificare dato che da $a<0$ segue $b le a$, assurdo perché $b>0$;
$a>0$, $b<0$. Questo caso non si può verificare dato che da $b<0$ segue $a le b$, assurdo perché $a>0$;
$a<0$, $b<0$. In questo caso $b le a$ e $a le b$, da cui $a=b$.

Praticamente abbiamo scritto le stesse cose solo che tu hai specificato anche i casi che non possono succedere.
Con la mia scrittura precedente volevo dire:
$a<0$ , $b\leqa$ --- $a>0$ , $b>0$ , $b|a$ (Questa è $a\rhob$)
$b<0$ , $a\leqb$ --- $b>0$ , $a>0$, $a|b$ (Questa è $b\rhoa$)
Nei due casi possibili. Quindi essendo $b\leqa$ e $a\leqb$ nonchè dal caso in cui siano entrambi maggiori di zero $b|a$ e $a|b$ allora potevo affermare che $a=b$
Si forse era poco chiaro ehehe

Ed ora viene il bello.

Elementi Massimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in X$ , $x \ne a$ e $(x,a)\notin\rho$

Ora, dimmi se sbaglio. $0$ non serve nemmeno dirlo $0\notinX$ quindi non lo consideriamo.

se $x>0$ , $x$ non è massimale perchè $x\rho(a<0)$ $\forall x >0$
se $x<0$ , $x$ non è massimale perchè $x\rho(x-1)$ e $x\ne(x-1)$

Quindi possiamo affermare che NON ci sono elementi massimali. (speremo ben )

Perfetto.

Elementi Minimali:

$x\inX$ tale che $\forall a \in X$ $a\nex$ e $(a,x)\notin\rho$

se $x<0$ , $x$ non è minimale perchè $(a>0)\rhox$ $\forall x <0$

se $x>0$ , $x$ non è minimale perchè ad esempio $(x*2)\rhox$ e $(x*2)\nex$

Perfetto.

Eh si si...

Ora ne provo uno con le coppie di elementi così vediamo cosa mi vien fuori ehehehe

Grazie ancora per l'aiuto.

[whiterabbit]

$X = NN x NN$

$(a,b) \rho (c,d) : \{(a+d > b +c),(a+d = b+c ; a \leq c):}$

Anzitutto dimostriamo le tre proprietà Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva.

Riflessiva:

$(a,b)\rho(a,b)$

$a+b = b+a$ e $a\leqa$

Antisimmetrica:

$(a,b)\rho(c,d)$ e $(c,d)\rho(a,b)$

$a+d>b+c$ e $c+b>d+a$ assurdo quindi $a+b=b+c$
Quindi: $a+d=b+c$ con $a\leqc$ e $c+b=d+a$ con $c\leqa$.
da $a\leqc$ e $c\leqa$ possiamo dedurre che $a=c$ e quindi da $a+d=b+c$ con $a=c$, $b=d$.

Transitiva:

$(a,b)\rho(c,d)$ e $(c,d)\rho(e,f)$ quindi $(a.b) \rho (e,f)$

$a+d>b+c$ e $c+f>d+e$ quindi facendo qualche passaggio
$a-b > c-d$ e $c-d>e-f$ quindi si conclude che $a-b>e-f$ che scritto come da relazione è: $a+f>b+e$

Se invece $a+d=b+c$ e $a\leqc$ ; $c+f=d+e$ e $c\leqe$ possiamo subito dire che $a\leqe$ e poi facendo i passaggi di cui sopra concludiamo che $a+f=b+e$
E conclusione delle conclusioni $(a,b) \rho (e,f)$.

Ora troviamo elementi Massimali e Minimali, qui m'ingrabuglio sicuro...

Massimali:
C incluso uguale X
$(x,y)\inX$ tale che $forallc,d \inC$ , $(x,y)\ne(c,d)$ $(x,y)(c,d)\notinX$ giusto?

Allora se $x=0$ e $y=0$ la coppia non è massimale poichè con $(c,d)>0$ e $d>c$ otteniamo $0+d>0+c$ che $\inX$
Se $x>0$ e $y>0$ la coppia non è massimale poichè se $d>y$ e $c<x$ abbiamo che $x+d>y+c$ che $\inX$ esempio: $x=1$ $y=1$ $d>1$ e $c<1$ quindi $1+2>1+0$
Se $x>0$ e $y=0$ non è massimale poichè basta $c<x$ e $d=0$
Se $x=0$ e $y>0$ non è massimale poichè $d>y$ e $c=0$ sarebbe $\inX$


Minimali:

C incluso uguale X

$(x,y)\inX$ $\forall a,b \in C$ $(a,b)\ne(x,y)$ e $(a,b)(x,y)\notinX$

Se $x=0$ e $y=0$ la coppia non è minimale poichè con $(a,b)>0$ e $a>b$ otteniamo $a+0>b+0$ che $\inX$
Se $x>0$ e $y>0$ la coppia non è minimale poichè se $a>x$ e $b<y$ abbiamo che $a+y>b+x$
Se $x>0$ e $y=0$ la coppia non è minimale poichè basta che $a>x$ e $b=0$ lo stesso vale per $x=0$ e $y>0$ basta che $b<y$ e $a=0$

[Martino]

Sì, direi che è tutto corretto.

L'unica cosa: non capisco ancora cosa sia quell'insieme ausiliario (che in quest'ultimo intervento hai chiamato $C$) incluso in $X$ che fai saltar fuori quando calcoli elementi massimali e minimali.

Complimenti comunque, rispetto agli interventi iniziali di questo filone hai fatto passi da gigante. O forse era solo questione di sicurezza.

[Fioravante Patrone]

Non voglio intromettermi, ma segnalo:
http://dri.diptem.unige.it/altro_materi ... oriale.pdf

Visto che l'uso di elementi massimali è standard in ottimizzazione vettoriale.

[whiterabbit]

Sì, direi che è tutto corretto.

L'unica cosa: non capisco ancora cosa sia quell'insieme ausiliario (che in quest'ultimo intervento hai chiamato $C$) incluso in $X$ che fai saltar fuori quando calcoli elementi massimali e minimali.

Complimenti comunque, rispetto agli interventi iniziali di questo filone hai fatto passi da gigante. O forse era solo questione di sicurezza.

E' l'abitudine quell'insieme.. io ho sempre calcolato maggioranti massimali e massimo di un insieme A che è contenuto uguale ad X. Qua non lo danno negli esercizi quindi si presuppone che sia A = X. Ho anche esercizi dove lo danno ehehe e quindi gli elementi $a\nex$ , $(x,a)\notinR$ gli $a$ vengono considerati solo quelli facenti parte a quell'insieme $A$ che non sarà tutto $X$

Più che questione di sicurezza per me è questione di veder le cose. Io non ho nessun esercizio svolto e non ho avuto nessun professore che mi dicesse fai così o cosà, quindi facevo un pò a caso. Grazie ai tuoi interventi e ai tuoi esercizi che svolgevi in correzione ai miei capivo dove sbagliavo e come fare quelli nuovi. Per il resto mi viene abbastanza bene emulare gli altri ehehe

Quindi grazie ancora..

[Martino]

Prego
Felice d'essere stato d'aiuto.