Equazione di una parabola da un punto e il vertice Esercizio

Messaggioda lordb » 01/12/2009, 17:49

Dunque mi sono ritrovato stamane con questo problema e non sono riuscito a risolverlo per problemi di calcolo,purtroppo trovata l'equazione della parabola dovevo trovare le tangenti e varie,ma visto che non sono riuscito a trovare l'equazione è stata una strage ^^
Comunque mi serve solo riuscire arrivare all'equazione,spero possiate aiutarmi.

- Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $. Vi ricordo che questa è l'equazione generica di una parabola : $ y=ax^2+bx+c $ e le coordinate generiche del V sono $ (-b/[2a] ; -Delta/[4a])
Ecco come avevo fatto io potete dirmi dove ho sbagliato? (fate finta sia un sistema a 3)
$ { 2= a+b+c { a=-b-c+2 $
$ { -7= 4a-2b+c { -7= 4(-b-c+2)-2b+c {0= -4b-4c+8+7-2b+c {6b= -3c +15 {[6b]/6= -[3c]/6 +15/6 {b=-1/2c + 5/2 {b=[c+5]/2 $
$ {-2= -b/[2a] {-2= [[-c-5]/2]/[2(-c-5-c+2)] {-2= [[-c-5]/2]/[-2c-10-2c+4] { -2=[[-c-5]/2]/[-4c-6] {-2(-4c-6) = [-c-5]/2 {-8c+12= [-c-5]/2 {2(-8c+12)=-c-5 {-16c+24+c=-5 {-15c =-29 {[15c]/15 =29/15 $

$ { a= -104/15-29/15+2 {a= [-104-29+30]/15 {a=-103/15 $
$ { b= [29/15+5]/2 {b= [29+75]/15 =104/15 $
$ { c= 29/15 $

quindi: $ y=-103/15x^2+104/15x+29/15 $

Mi sono reso conto da solo che non aveva senso continuare la verifica :-D

Grazie per l'aiuto
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Messaggioda Titania » 01/12/2009, 19:04

L'impostazione era giusta... Non ho ben capito come pensavi di risolvere il sistema.

Io avrei esplicitato la b, veniva $b=4a$.
A quel punto la sostituivi nelle altre due equazioni.
A conti fatti, ottenevi $a=1$, $b=4$ e $c=-3$

La tua parabola era quindi $y=x^2+4x-3$
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Messaggioda lordb » 01/12/2009, 19:24

Grazie mille hai ragione !
io avevo esplicitato per prima la a, ma comunque non sarebbe dovuto venire lo stesso?
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Messaggioda Titania » 01/12/2009, 19:28

Sì certo, ma esplicitando la a i calcoli erano più lunghi, quindi fare errori era molto più facile.

Ciao!:D
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Messaggioda lordb » 01/12/2009, 19:31

Grazie caro!
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Re: Equazione di una parabola da un punto e il vertice Eserc

Messaggioda franced » 01/12/2009, 21:36

lordb ha scritto: Trovare l'equazione della parabola dato un punto $ P (1;2) $ e vertice $ V(-2;-7) $.


Basta riferirsi alla formula

$y = a (x-x_V)^2 + y_V$

poiché $x_V = -2$ e $y_V = -7$ si ha

$y = a (x+2)^2 - 7$ ;

sostituendo ora $x=1$ e $y=2$ abbiamo

$2 = a * (1+2)^2 - 7$

$a = 1$

per cui l'equazione della parabola è

$y = (x+2)^2 - 7$

se vogliamo sviluppare otteniamo

$y = x^2 + 4 x - 3$ .
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Messaggioda lordb » 02/12/2009, 10:46

Grazie mille! Non la conoscevo questa formula !
Dove posso trovare una dimostrazione a questa e all'altra formula precostituita :
dato fuoco e vertice:
trovare valore di p = (parametro?) $P= Yf-Yv $
$ a=1/[4p] $

Grazie mille!
Ultima modifica di lordb il 02/12/2009, 12:20, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda Nicole93 » 02/12/2009, 11:56

Attento! non tutti gli insegnanti accettano formule precostituite (soprattutto se non sono stati loro a spiegarle!), perchè generalmente interessa il ragionamento che sta alla base dell'esercizio, e cioè vedere se lo studente è in grado di capire cosa significa ottenere una parabola dati un punto ed il suo vertice
Io ad esempio non la accetterei, mentre in genere pretendo che il sistema venga risolto nel modo migliore, cioè non col metodo
di sostituzione, bensì col metodo di somma o riduzione
quindi il metodo migliore per me è questo :
${\(-b/(2a)=-2),(2=a+b+c),(-7=4a-2b+c):}$
ricavo b dalla prima equazione e vado a sostituirla nelle altre due, poi applico il metodo :
${\(b=4a),(5a+c=2),(-4a+c=-7):}$
ora basta sottrarre membro a membro le ultime due equazioni ed ottieni :
$9a=9$ , cioè $a=1$
a questo punto ricavi immediatamente b e poi c
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Messaggioda lordb » 02/12/2009, 12:11

ok ne farò presente grazie ^^
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Messaggioda franced » 02/12/2009, 13:54

Guarda che la formula

$y = a (x - x_V)^2 + y_V$

rappresenta una generica parabola.


Infatti, una parabola di vertice $O$ ha equazione

$y = ax^2$ ;

con la traslazione che porta $O$ in $V$ otteniamo proprio

$y = a (x - x_V)^2 + y_V$ .
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