ho urgenza assoluta: domani ho l esame orale di analisi e non trovo da nessuno parte la dimostrazione dell' integrazione per sostituzione!
GRAZIE!
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dimostrazione integrazione per sostituzione
da catelli » 28/02/2010, 14:58
- catelli
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da stefano_89 » 28/02/2010, 16:10
a pagine 18. è solo una riga: http://www.dm.unito.it/personalpages/coriasco/Lez02.pdf
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[/mod]da Fingolfin » 07/07/2011, 21:04
Ho la necessità di riportare in auge questo topic, il mio dubbio riguarda l'enunciato del Teorema. Lo riporto così come mi è stato dato.
Enunciato: Sia $f(x)$ una funzione continua in $[a,b]$ e $\phi(t) in C^1(\[\alpha , \beta\])$, poiché per il Teorema di Weierstrass la funzione $\phi(t)$ ammette massimo $M$ e minimo $m$ che potrebbero non essere inclusi nell'intervallo di definizione di $f(x)$ dico che $f(x) in C^0(\[m , M\])$. Inoltre ho che $\phi(\alpha) = a$ e $\phi(\beta) = b$ allora si ha: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\phi(t)] \phi\'(t) dt$.
E' corretto, o c'è un modo più veloce per scriverlo, evitando la prolissità del passaggio in cui dico che devo cambiare l'intervallo di definizione della funzione $f(x)$ ?
Grazie
Enunciato: Sia $f(x)$ una funzione continua in $[a,b]$ e $\phi(t) in C^1(\[\alpha , \beta\])$, poiché per il Teorema di Weierstrass la funzione $\phi(t)$ ammette massimo $M$ e minimo $m$ che potrebbero non essere inclusi nell'intervallo di definizione di $f(x)$ dico che $f(x) in C^0(\[m , M\])$. Inoltre ho che $\phi(\alpha) = a$ e $\phi(\beta) = b$ allora si ha: $\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\phi(t)] \phi\'(t) dt$.
E' corretto, o c'è un modo più veloce per scriverlo, evitando la prolissità del passaggio in cui dico che devo cambiare l'intervallo di definizione della funzione $f(x)$ ?
Grazie
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da gugo82 » 07/07/2011, 21:34
Basta richiedere che \( \displaystyle \phi ([\alpha ,\beta])\subseteq [a,b] \) .
Ad ogni modo, mi pare strano che manchi un'ipotesi di monotonia su \( \displaystyle \phi \) ... Infatti se \( \displaystyle \phi \) non è monotona, succedono cose strane: ad esempio, consideriamo l'integrale:
\( \displaystyle \int_{-1}^1 2\sqrt{1-t^2}\ t\ \text{d} t \) ;
evidentemente, essendo l'integranda dispari, l'integrale proposto è nullo; tuttavia, si potrebbe pensare di fare la sostituzione \( \displaystyle x=\phi (t)=t^2 \) ed usando la formula proposta si otterrebbe:
\( \displaystyle 0=\int_{-1}^1 2\sqrt{1-t^2}\ t\ \text{d} t =\int_0^1 \sqrt{1-x}\ \text{d} x >0 \) ,
il che è assurdo.
Ad ogni modo, mi pare strano che manchi un'ipotesi di monotonia su \( \displaystyle \phi \) ... Infatti se \( \displaystyle \phi \) non è monotona, succedono cose strane: ad esempio, consideriamo l'integrale:
\( \displaystyle \int_{-1}^1 2\sqrt{1-t^2}\ t\ \text{d} t \) ;
evidentemente, essendo l'integranda dispari, l'integrale proposto è nullo; tuttavia, si potrebbe pensare di fare la sostituzione \( \displaystyle x=\phi (t)=t^2 \) ed usando la formula proposta si otterrebbe:
\( \displaystyle 0=\int_{-1}^1 2\sqrt{1-t^2}\ t\ \text{d} t =\int_0^1 \sqrt{1-x}\ \text{d} x >0 \) ,
il che è assurdo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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da Giuly19 » 16/07/2011, 00:18
Gugo ma che cosa è successo agli estremi di integrazione?
Io avevo capito che i problemi si possono presentare quando $phi$ non è invertibile, ma nell'altro verso dell'uguaglianza.
Sei sicuro di quell'esempio?
Io avevo capito che i problemi si possono presentare quando $phi$ non è invertibile, ma nell'altro verso dell'uguaglianza.
Sei sicuro di quell'esempio?
- Giuly19
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da Rigel » 16/07/2011, 07:45
E' necessario richiedere che \( \displaystyle \phi\in C^1( [ \alpha, \beta ] ) \) soddisfi \( \displaystyle \phi([\alpha, \beta]) = [a,b] \) .
In realtà, se $f\in C(I)$ con $I$ intervallo contenente $[a,b]$, allora basta che \( \displaystyle [a,b]\subseteq\phi([\alpha, \beta])\subseteq I \) .
In questa forma dell'enunciato non è necessario richiedere che $\phi$ sia invertibile; ciò che serve, e che è garantito dalle richieste appena fatte, è individuare $\gamma, \delta\in [\alpha, \beta]$ tali che $\phi(\gamma) = a$, $\phi(\delta) = b$. In tal caso
\( \displaystyle \int_a^b f(x) dx = \int_{\gamma}^{\delta} f(\phi(t)) \phi'(t) dt. \)
Questo si dimostra agevolmente osservando che, se $F$ è una primitiva di $f$, allora $F(\phi(t))$ è una primitiva di $f(\phi(t))\phi'(t)$, $t\in [a,b]$.
In realtà, se $f\in C(I)$ con $I$ intervallo contenente $[a,b]$, allora basta che \( \displaystyle [a,b]\subseteq\phi([\alpha, \beta])\subseteq I \) .
In questa forma dell'enunciato non è necessario richiedere che $\phi$ sia invertibile; ciò che serve, e che è garantito dalle richieste appena fatte, è individuare $\gamma, \delta\in [\alpha, \beta]$ tali che $\phi(\gamma) = a$, $\phi(\delta) = b$. In tal caso
\( \displaystyle \int_a^b f(x) dx = \int_{\gamma}^{\delta} f(\phi(t)) \phi'(t) dt. \)
Questo si dimostra agevolmente osservando che, se $F$ è una primitiva di $f$, allora $F(\phi(t))$ è una primitiva di $f(\phi(t))\phi'(t)$, $t\in [a,b]$.
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