Ordine di gruppi di matrici.

[Simonixx]

La questione non è affatto semplice, perchè non so davvero dove mettere le mani!
So solo che gli strumenti che ho a disposizione riguardo la teoria dei gruppi sono molti, tra cui la nozione di azione di gruppi, e il teorema di Sylow. Ipotizzo, visto che gli esercizi si basano su queste nuove nozioni, debbano svolgersi in questa maniera i seguente esercizio: (se avete altri metodi ben venga illustrarli! ^^)

1] Sia $p$ un primo, e sia $n >= 1, n in Z$. Determinare gli ordini dei gruppi $GL_N(Z_P), SL_N(Z_P), PGL_N(Z_P), PSL_N(Z_P)$

Dò la definizione dei gruppi:

$GL_n(Z_p)$ è il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili con $n$ righe e colonne, i cui coefficienti sono presi nel campo $Z_p$, che è il campo delle congruenze modulo $p$.

$SL_n(Z_p)$ è il gruppo moltiplicativo delle matrici invertibili con determinante 1, per la costruzione del gruppo approfondisco dopo se ce n'è bisogno.

$PGL_n(Z_p)$ è il gruppo quoziente $(GL_n(Z_p))/N$ dove $N$ è il sottogruppo normale comprendente le matrici scalari.

$PSL_n(Z_p)$ è il gruppo quoziente $(SL_n(Z_p))/(SL_n(Z_p) nn N)$ dove ovviamente l'intersezione è un sottogruppo normale.


2] Esibire un p-sottogruppo di di Sylow di $GL_2(Z_p)$ e di $GL_n(Z_p)$
(questo mi metterei a provarlo appena conosco l'ordine di questi gruppi! >.<)

3] Sia p il nostro solito numero primo.
A) dimostrare che il centro di un gruppo finito di ordine una potenza di p non sia banale (ovvero non contenga solamente l'elemento neutro)
B) Dimostrare che ogni gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.

(per il 3A volevo provare per assurdo, ma non so in che direzione potrei andare a parare per provarlo..., per il 3B dovrei pensare incrociando Cauchy, Lagrange, Sylow... e poi arrivarci! ahah)


Diciamo che la parte difficili è quella di trovare gli ordini ! >.< Il resto sto ancora pensando a come fare... upperò se non ce la farò più! ahah Grazie della lettura e disponibilità!

[Rattlesnake89]

Ciao Simonixx.
1. Se $K$ è il campo con $p$ elementi, $GL_n(K)$ è costituito dalle matrici $n\times n$ invertibili, cioè quelle costituite da $n$ vettori colonna di lunghezza $n$ a entrate in $K$ linearmente indipendenti tra loro. Consideriamo il primo vettore colonna: esso potrà essere un qualunque vettore di $K^n$ tranne il vettore nullo, quindi abbiamo $p^n-1$ possibilità. Secondo vettore colonna: è un qualunque vettore colonna di $K^n$ che non sia un multiplo scalare del primo, quindi ci sono $p^n-p$ possibilità. In generale, il $j$-esimo vettore colonna è un qualunque vettore di $K^n$ che non sia una $K$-combinazione lineare dei primi $j-1$ vettori colonna; essendoci $p^{j-1}$ possibili $K$-combinazioni lineari, avrò $p^n-p^{j-1}$ possibilità. In tutto:
$|GL_n(K)|=\prod_{j=1}^n (p^n-p^{j-1})=(\prod_{j=1}^n p^{j-1})(\prod_{j=1}^n (p^{n-j+1}-1))=p^{\sum_{j=0}^{n-1} j}\prod_{j=1}^n (p^j-1)=p^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{j=1}^n (p^j-1)$

Per gli altri esercizi ti do dei suggerimenti:
Per l'ordine di $SL_n(K)$ considera la mappa $GL_n(K)\to K\setminus \{0\}$ ($K\setminus \{0\}$ è il gruppo moltiplicativo del campo) definita da $A\to \det(A)$: è un epimorfismo di gruppi (perché?); ora applica il primo teorema di isomorfismo di gruppi.
Per l'ordine di $PGL_n(K)$, dato che conosci l'ordine di $GL_n(K)$, ti basta sapere l'ordine del sottogruppo delle matrici scalari, cioè delle matrici $\lambda I_n$ ove $\lambda\in K\setminus \{0\}$: qual è?
Per $PSL_n(K)$, dato che conosci l'ordine di $SL_n(K)$, basta calcolare l'ordine di $SL_n(K)\cap N$: questo è il gruppo delle matrici scalari $\lambda I_n$ tali che $\det (\lambda I_n)=1$, cioè $\lambda^n=1$. Si tratta quindi di contare le radici $n$-esime dell'unità nel camp con $p$ elementi: non mi viene in mente un metodo per farlo in questo momento...

2. Per la formula vista prima per l'ordine di $GL_n(\mathbb{F}_p)$, ogni suo $p$-Sylow ha ordine $p^{\frac{n(n-1)}{2}}=p^{1+2+...+(n-1)}$. Nota che $1+2+...+(n-1)$ è il numero delle entrate di una matrice $n\times n$ che stanno sopra la diagonale. Ti suggerisce qualcosa?

A) dimostrare che il centro di un gruppo finito di ordine una potenza di p non sia banale (ovvero non contenga solamente l'elemento neutro)

Considera l'azione di coniugio sul gruppo $G$, e sia ${x_i}$ un insieme completo di rappresentanti per le classi di coniugio che non contengono elementi centrali (cioè elementi che commutano con ogni altro elemento del gruppo). Allora l'equazione delle orbite si scrive $|G|=|Z(G)|+\sum_i |G:C_G(x_i)|$: perché? ($C_G(x)$ è il centralizzante in $G$ di $x$ e $Z(G)$ è il centro del gruppo). Detto questo, supponi per assurdo che $|Z(G)|=1$, arriverai a un assurdo...

B) Dimostrare che ogni gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.

Devi dimostrare che $Z(G)=G$. Usa il teorema di Lagrange: che ordine può avere $Z(G)$? Per il risultato precedente, puoi già escludere un caso. Poi procedi ancora per assurdo.

[Simonixx]

Grazie moltissime! Ho letto per ora solo il primo esercizio, ed è spiegato in maniera molto chiara! ^^
Ora mi metto a fare gli altri con i tuoi suggerimenti!

[Simonixx]

Il ragionamento per l'ordine di $PSL_n(z_P)$ potrebbe essere questo: in $Z_p - {0}$ ogni elemento ha ordine p a parte l'elemento neutro 1. Allora possiamo dire che a risolvere quell'equazione sono solamente gli elementi che hanno ordine $n$. Ovviamente nessuno elemento ha ordine $n$ o comunque risulta essere 1 se elevato alla $n$ a meno che $n = k*p$ dove k è un intero! Nel caso non lo sia, l'unico scalare che soddisfa l'equazione è 1. Invece nel caso che sia un multiplo del primo p, ogni elemento potrà soddisfare $c^n = 1$

Può andare? (ho utilizzato Lagrange per il fatto che l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo...)

[Rattlesnake89]

Scusa ma non ho capito molto di quello che hai scritto (sarà anche l'ora )!
Mi sembra che tu stia confondendo il periodo di un elemento di $\mathbb{Z}_p$ come gruppo ciclico additivo, con il periodo di un elemento di $\mathbb{F}_p\setminus \{0\}$ come gruppo moltiplicativo del campo (il campo con p elementi).
Voglio dire: se prendi un elemento $x$ in $\mathbb{Z}_p$ (gruppo ADDITIVO), per il teorema di Lagrange l'ordine di $x$ è $1$ o $p$; quindi se $x\ne 1$, l'ordine è p. Invece il gruppo moltiplicativo del campo con p elementi, ovvero $\mathbb{Z}_p\setminus \{0\}$ come gruppo MOLTIPLICATIVO, ha ordine $p-1$ e non $p$, quindi nessun elemento ha ordine $p$ (sempre per Lagrange). Ad esempio nel gruppo moltiplicativo di $\mathbb{Z}_7$, $2^3=1$ e $3$ è proprio l'ordine dell'elemento $2$.

[Simonixx]

Giusto! L'ordine è $(p-1)$ non $p$ ma credo comunque che il ragionamento sia analogo, ovvero $n$ deve essere multiplo di $(p-1)$affinchè i nostri scalari siano $m$ diano $m^n = 1$, sennò sarà solo l'1 a soddisfare l'equazione, no?

Poi volevo chiederti: quale formula intendi per "equazione delle orbite"? Magari non la conosco, magari cerco di dimostrarla, ecc. perchè per quello che ne so ci sono la formula di Burnside e una formula che dice che la cardinalità del gruppo è pari al prodotto della cardinalità di un orbita per la cardinalità dello stabilizzatore (e questo vale per ogni elemento del gruppo su cui si agisce).

EDIT: Ok. Ci sono arrivato. Non capivo l'equazione, ma visto che hai svolto le classi di coniugio per i soli elementi non appartenenti al centro poi ho capito il significato della sommatoria e di tutto il resto...

[Rattlesnake89]

Giusto! L'ordine è $(p-1)$ non $p$ ma credo comunque che il ragionamento sia analogo, ovvero $n$ deve essere multiplo di $(p-1)$affinchè i nostri scalari siano $m$ diano $m^n = 1$, sennò sarà solo l'1 a soddisfare l'equazione, no?

No, l'equazione $\lambda^n=1$ in $K\setminus\{0\}$ è soddisfatta sse $o(\lambda)|n$, condizione più debole di $(p-1)|n$: se $(p-1)|n$, certamente $o(\lambda)|n$ (per Lagrange), ma non vale il viceversa. Controesempio (quello che facevo ieri): in $\mathbb{Z}_7$ $\lambda^3=1$ è soddisfatta per $\lambda=2$; secondo il tuo ragionamento invece l'equazione dovrebbe avere solo soluzione $1$ perché $3$ non divide $p-1=7-1=6$.

[melli13]

L'ordine di $SL_n(ZZ_p)$ allora dovrebbe essere uguale all' $|(GL_n(ZZ_p))|/|"Im"f|$ cioè $((p^n-1)....(p^n-p^(n-1)))/(p-1)$. Si può mica semplificare la scrittura?Oppure è proprio questo il punto di arrivo?Grazie....

[Rattlesnake89]

Giusto. Volendo puoi semplificare notando che $(p-1)(p^{n-1}+p^{n-2}+...+1)=p^n-1$. Questo giustifica anche "a posteriori" il fatto che l'ordine del gruppo sia un numero naturale, come deve essere.

[melli13]

Grazie mille....! Molto gentile..