Boh... si fa a mano... Hai \( \displaystyle A = k[X] \oplus k[X] Y \) . Questo anello è libero su \( \displaystyle k[X] \) , quindi in particolare è piatto. Pertanto applicando \( \displaystyle -\otimes_{k[X]} A \) all'inclusione naturale \( \displaystyle k[X] \subset k(X) \) ottieni \( \displaystyle A \subset k(X) \otimes_{k[X]} A \) . Ora, però, \( \displaystyle k(X) \otimes_{k[X]} A = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) , e questo è un campo perché il polinomio \( \displaystyle Y^2 - X^3 \) è irriducibile in \( \displaystyle k[X][Y] = k[X,Y] \) e, essendo \( \displaystyle k[X,Y] \) un dominio normale, vale per lui il lemma di Gauss. Da questo deduci al volo che \( \displaystyle \text{Frac}(A) \subset k(X) \otimes_{k[X]}A \) . D'altra parte è ovvio che ogni elemento di \( \displaystyle k(X) \otimes_{k[X]}A = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) si può scrivere come quoziente di due classi di \( \displaystyle k[X,Y]/(Y^2 - X^3) \) (perché?), e quindi otteniamo \( \displaystyle \text{Frac}(A) = k(X)[Y]/(Y^2 - X^3) \) . Il fatto che poi quest'anello sia uguale a \( \displaystyle k(t) \) è praticamente ovvio (hint: \( \displaystyle Y \) soddisfa un'equazione integrale su \( \displaystyle k[X] \) ... e poi basta la doppia inclusione!). Il resto del ragionamento fila liscio come l'olio, no?
mickey88 ha scritto:Poi ho una domanda più generale, perchè sia il Reid che L'atiyah-mcdonald sono troppo densi e compatti sull'argomento:
quando ho un anello come quello sopra, cioè anello di polinomi in due variabili quozientato rispetto a un ideale principale, come faccio a trovare la normalizzazione?
Questa non è una domanda banale. Esistono algoritmi generali per il computo della normalizzazione, ma il più delle volte si dovrebbe fare a mano (tranne quando gli esercizi sono volutamente incasinati). Serve, più che altro, un po' d'occhio, lo stesso occhio che serve per fattorizzare polinomi o risolvere integrali indefiniti, se vogliamo metterla così. Potresti divertirti, ad esempio, a mostrare che \( \displaystyle \mathbb Z [X] / (X^2 + 2X + 4) \) non è normale e a computare la sua normalizzazione...
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!