Somma di numeri algebrici

[deffo]

Qualcuno saprebbe dimostrarmi perchè la somma di due numeri algebrici è ancora algebrica?
Non riesco a trovare la dimostrazione da nessuna parte. Grazie

[Paolo90]

Prendi un campo $F$ e considera due elementi $a,b$ della chiusura algebrica di $F$, cioè $a$ e $b$ algebrici su $F$. Allora l'estensione $F(a,b)$ è finita (lo vedi subito, per moltiplicatività) e quindi ogni elemento di $F(a,b)$ è algebrico su $F$.
In particolare, $a\pm b, ab, ab^{-1} \in F(a,b)$ e dunque sono algebrici su $F$. Torna?

[deffo]

Perfetta, grazie mille!

[Paolo90]

Prego, figurati.

[Martino]

Se può interessare, c'è un modo algoritmico per trovare un polinomio che ha \( \displaystyle a+b \) o \( \displaystyle ab \) come zero dati polinomi \( \displaystyle A(x),B(x) \) che hanno rispettivamente \( \displaystyle a,b \) come zeri. Uno prende le companion matrix di \( \displaystyle A(x),B(x) \) , siano esse \( \displaystyle A,B \) , e poi fa così (cf. prodotto di Kronecker, e qui \( \displaystyle \sigma(M) \) indica lo spettro, cioè l'insieme degli autovalori, della matrice \( \displaystyle M \) ):



[Tratto dalle note "Applied linear algebra" di Harald Wimmer, non ho trovato il pdf su internet purtroppo.]

Questo è interessante perché permette di dimostrare costruttivamente che gli interi algebrici formano un anello (di solito la dimostrazione di questo fatto non è costruttiva).

[deffo]

Grazie anche a te Martino