def. funzione concentrata

[Zilpha]

Sia $(X, x_0)$ spazio topologico puntato, $ f:I^nrarr X $ funzione continua che manda il bordo di $I^n$ nel punto $x_0$.
Ho un dubbio circa questa definizione (cito testualmente gli appunti del docente):
Consideriamo un $I_1^n$ retratto di deformazione di $I^n$, dove $ I=[0,1] $, con retrazione $r$, allora ogni funzione $ f:I^nrarr X $ è omotopa a una funzione $ g:I^nrarr X $ ottenuta come composta al modo seguente
$ I^nrarr I_1^nrarr I^nrarr X $ (N.d.R. in ordine sono retrazione, inclusione e f).
Tale funzione $g$ "concentra" la $f$ su $I_1^n$ e in $I^n - I_1^n$ è la funzione costante al punto $x_0$ e si chiama CONCENTRATA di f sul retratto.
Il mio dubbio è il seguente:
se prendo un punto che sta nell'intercapedine $I^n-I_1^n$ e che non sia un punto del bordo, la sua immagine mediante $r$ è un punto del retratto; questo punto mediante l'inclusione va in sè. Quando ad esso applico la $f$ chi mi assicura che la sua immagine sia $x_0$?
Cosa mi sfugge?

[maurer]

Con quella definizione, hai ragione tu, ossia l'affermazione è sbagliata.
Prendi \( \displaystyle I_1^1 = \{\frac{1}{2}\} \) ; considera \( \displaystyle f \colon I \to \mathbb R \) , \( \displaystyle f(x) = - x(x-1) \) . Allora \( \displaystyle f(0) = f(1) = 0 \) , \( \displaystyle f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \) e quindi abbiamo un controesempio.

[Zilpha]

Ciao Maurer, grazie per la risposta...
[OT]
purtroppo questa cosa mi è costata l'esame stamattina... o meglio siccome avevo dei dubbi al riguardo, quando mi è stata chiesta, ho cominciato a traballare (era appena la seconda domanda) e mentre stavo per esprimere i miei dubbi circa la correttezza degli appunti sono stata fermata dalla prof che mi ha consigliato di ritornare all'appello successivo... Sono molto amareggiata perchè di fatto non mi è stata data la possibilità di fare l'esame... ma vabbè...
[/OT]
A parte lo sfogo personale, qual è la definizione corretta? oppure come si può correggere l'errore?

[maurer]

E' la prima volta che incontro questa definizione, non mi è chiara l'idea, cioè non mi è chiaro cosa vuoi ottenere. Puoi dire qualcosa di più, o linkare le dispense del tuo docente?

[Zilpha]

uhm, in realtà serve per dimostrare che i gruppi di omotopia superiori per $n>1$ sono abeliani. Ho dato un'occhiata aull'Hatcher (che mi hai suggerito tu) e lì si fa cenno a questa funzione senza esibirla, semplicemente dicendo come (pag.340). Purtroppo le dispense sono solo cartacee... appena ho tempo scannerizzo le pagine in questione o comunque aggiungo particolari, perchè ora devo scappare
Ti aggiorno!

[maurer]

Oh, che bello! Non avevo mai visto questa dimostrazione, né ero conoscenza del risultato (perché in topologia algebrica da noi si fa omologia singolare, celluare, coomologia ecc., mentre per i gruppi di omotopia c'è algebra omotopica che devo ancora seguire).
Comunque, ho guardato un attimo l'Hatcher e mi sembra che si complichi la vita anche lui (mai quanto fai tu! ). Mi sembra che l'argomento sia puramente formale: è una facile applicazione dell'argomento di Eckmann - Hilton ed è di sapore squisitamente categoriale!

Ti racconto l'argomento di Eckmann - Hilton. Supponi che su \( \displaystyle X \) siano assegnate due operazioni \( \displaystyle \cdot \) , \( \displaystyle * \) , entrambe unitarie con la stessa unità \( \displaystyle 1 \) e soddisfacenti \( \displaystyle (a \cdot b) * (c \cdot d) = (a * c) \cdot (b * d) \) . Allora le due operazioni coincidono ed inoltre sono abeliane. Infatti, scegliendo \( \displaystyle a = d = 1 \) ottieni \( \displaystyle b * c = c \cdot b \) , scegliendo \( \displaystyle b = c = 1 \) ottieni \( \displaystyle a * d = a \cdot d \) , quindi mettendo insieme le due cose: \( \displaystyle x * y = y \cdot x = y * x = x \cdot y \) (per il sapore categoriale, prova a guardare qui).

Nel tuo caso cosa succede: se \( \displaystyle n > 1 \) , la somma di \( \displaystyle f,g \colon I^n \to X \) è definita
\( \displaystyle (f+g)(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} f(2x_1,x_2,\ldots,x_n) & 0 \le x_1 \le \frac{1}{2} \\ f(2x_1 - 1,x_2,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_1 \le 1 \end{cases} \)
Definisci simpaticamente
\( \displaystyle (f\oplus g)(x_1,\ldots,x_n) := \begin{cases} f(x_1, 2x_2,\ldots,x_n) & 0 \le x_2 \le \frac{1}{2} \\ f(x_1, 2x_2 - 1,\ldots, x_n) & \frac{1}{2} \le x_2 \le 1 \end{cases} \)
Queste due operazioni passano modulo omotopia e chiaramente sono unitarie e l'unità è ovviamente la stessa. Per ottenere la nostra tesi, basta mostrare che la relazione \( \displaystyle (f+g) \oplus (h + k) \simeq (f\oplus h) + (g \oplus k) \) è verificata, dove \( \displaystyle \simeq \) significa che i due membri sono omotopi. Ora, il bello è che vale addirittura senza chiedere l'omotopia, mi pare! Eh sì, perché: (geometricamente è ovvio!!! fai un disegno e solo dopo guarda ai conti! )
\( \displaystyle [(f+g) \oplus (h+k)](x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} (f+g)(x_1,2x_2,\ldots,x_n) & 0 \le x_2 \le \frac{1}{2} \\ (h+k)(x_1,2x_2 -1,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_2 \le 1 \end{cases} = \)
\( \displaystyle = \begin{cases} f(2x_1,2x_2,\ldots,x_n) & 0 \le x_1,x_2 \le \frac{1}{2} \\ g(2x_1-1,2x_2,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le \frac{1}{2} \\ h(2x_1,2x_2 - 1, \ldots,x_n) & 0 \le x_1 \le \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \le x_2 \le 1 \\ k(2x_1-1,2x_2-1,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_1, 0 \le x_2 \le 1 \end{cases} \)
Mentre
\( \displaystyle [(f \oplus h) + (g \oplus k)](x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} (f \oplus h)(2x_1,x_2,\ldots,x_n) & 0 \le x_1 \le \frac{1}{2} \\ (g \oplus k)(2x_1 - 1,x_2,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_1 \le 1 \end{cases} = \)
\( \displaystyle = \begin{cases} f(2x_1,2x_2,\ldots,x_n) & 0 \le x_1,x_2 \le \frac{1}{2} \\ h(2x_1,2x_2 - 1, \ldots,x_n) & 0 \le x_1 \le \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \le x_2 \le 1 \\ g(2x_1-1,2x_2,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le \frac{1}{2} \\ k(2x_1-1,2x_2-1,\ldots,x_n) & \frac{1}{2} \le x_1, 0 \le x_2 \le 1 \end{cases} \)
e le due funzioni sono ovviamente la stessa. Quindi per Eckmann-Hilton segue at once che \( \displaystyle f + g \simeq f \oplus g \simeq g + f \) !

Non serve proprio introdurre quella funzione che vuoi tu! (il potere dell'algebra! ahahahahah!)

Nota. Ho detto che non serve l'omotopia per quella particolare uguaglianza. Tuttavia è falso che \( \displaystyle f + g = g + f \) . Perché? Perché senza omotopia, quelle operazioni non hanno elemento neutro, mentre quando passiamo modulo omotopia ovviamente lo guadagniamo.

Nota 2. Un'altra applicazione facile in maniera imbarazzante di Eckmann - Hilton è che il primo gruppo fondamentale di un gruppo topologico è abeliano! Conosci questo fatto? Se sì, conosci la dimostrazione stile Eckmann - Hilton? Se la risposta è no, prova a farlo, è bello per vedere la potenza dell'algebra! XD

[Zilpha]

Grazie per la risposta... ok quindi così si dimostra l'abelianità senza fare uso di quella funzione... non conoscevo l'argomento di Ekcmann-Hilton, molto carino.... tuttavia è una cosa impresentabile alla mia prof la terrò come conoscenza personale....