Sul gruppo lineare speciale

[ZetaFunction]

Utilizzare la riduzione per righe per dimostrare che le matrici elementari del primo tipo (ossia della forma $I+ae_(ij)$ con $i\ne j, a \in RR$) generano $SL_{n}(RR)$ (gruppo delle matrici reali $n xx n$ con determinante uno).

Ora, a me sembra che tramite quelle matrici si possa generare qualsiasi altra, al contempo mantenendo il determinante pari a 1 (essendo tutte matrici elementari). Però non riesco a trovare il modo per esprimere la cosa in termini formali.

[ZetaFunction]

Ho appena corretto un lieve errore tipografico.

[j18eos]

Inizio col farti notare che \(SL(n;\mathbb{R})\) si denomina gruppo lineare speciale!

La soluzione che ti propongo è di carattere topologico: considerata su \(SL(n;\mathbb{R})\) la topologia indotta da \(\mathbb{R}^{n^2}\) con la topologia naturale, mediante l'applicazione (continua):\[\det: A\in SL(n;\mathbb{R})\to\det(A)=1\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\] ottieni che \(SL(n;\mathbb{R})\) è un gruppo connesso, l'applicazione:
\[\cdot:(A;B)\in SL(n;\mathbb{R})\times SL(n;\mathbb{R})\to A\times B^{-1}\in SL(n;\mathbb{R})\] è continua considerando sul dominio la topologia prodotto, quindi \((SL(n;\mathbb{R}),\times)\) è un gruppo topologico connesso; in particolare, ottieni che le azioni destre e sinistre sono applicazione continue:\[\forall A\in SL(n;\mathbb{R}),\,\begin{cases}
L_A:B\in SL(n;\mathbb{R})\to A^{-1}\times B\in SL(n;\mathbb{R})\\
R_A:B\in SL(n;\mathbb{R})\to B\times A\in SL(n;\mathbb{R})
\end{cases}.\] Con un pò di immaginazione ottieni che il gruppo \(G\) generato dalle matrici della forma \(I+ae_{ij}\) contiene un intorno aperto \(U_0\) di \(I\) in \(SL(n;\mathbb{R})\); definito ricorsivamente \(U_n\) come l'insieme dei prodotti di \(n\) elementi di \(U_0\), ottieni una successione crescente di intorni aperti di \(I\) e la loro unione è un sottogruppo aperto \(H\) di \(SL(n;\mathbb{R})\), utilizzando quanto premesso ottieni che \(H\) è chiuso (il complementare è aperto, si utlizza indifferentemente una delle due azioni descritte di sopra) per cui \(H=SL(n;\mathbb{R})\) ovvero l'asserto.

Spero di essere stato chiaro e corretto, malgrado la fretta!

EDIT: Ho chiarificato il tutto, se non fosse ancora chiaro scrivete(me)lo.

EDIT2: La mia fonte d'ispirazione è Spivak - A comprehensive introduction to differential geometry - Volume II. Lo so: manco la geometria differenziale c'azzecca con la domanda posta, ma che volete farci...

[ZetaFunction]

Inizio col farti notare che $SL(n;R)$ si denomina gruppo lineare speciale!

ehm, sì!

Ti ringrazio del contributo. Esiste un modo per risolvere il problema tramite la riduzione per righe?

[j18eos]

Prego e scusami per una svista (ed aggiungo che forse ce ne sono altre); comunque non conosco che questa dimostrazione topologica, hai provato con una ricerca nel forum?

[Stickelberger]

Il risultato vale per un campo arbitrario, non solo $RR$.
Vedi Lang's Algebra, 2nd Ed., Proposition 9.1
oppure http://people.brandeis.edu/~igusa/Math101b/SL.pdf
per una dimostrazione che utilizza solo la riduzione per righe.

[ZetaFunction]

Grazie, Stickel.