Sono due polinomi identici?

[agenog]

Il testo dell' esercizio è il seguente:
Si consideri \(\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+k \) nell'insieme Z3[x] e si consideri sempre in questo insieme \(\displaystyle g(x)=x^2+2x+k \). Sapendo che k appartiene a Z3 è vero che i due polinomi sono identici?

La mia risposta: I polinomi non sono identici, in quanto per il principio di identità dei polinomi 2 polinomi sono identici se e solo se hanno uguali i rispettivi coefficienti.

Dubbio: Essendo \(\displaystyle x^3 \) congruo \(\displaystyle x \) \(\displaystyle ( mod 3) \) per il Piccolo Teorema di Fermat abbiamo che in Z3[x] \(\displaystyle f(x) \) è congruo a \(\displaystyle g(x) \). Questo implica che sono identici in Z3[x]? (si nota che al variare di k i valori di f e g sono infatti gli stessi)

[Martino]

Non confondere "polinomio" con "funzione polinomiale". Sono due cose diverse. Due polinomi distinti possono indurre la stessa funzione polinomiale. Ricorda che un polinomio (a coefficienti in un campo \( \displaystyle K \) ) non è altro che una funzione \( \displaystyle c: \mathbb{N} \to K \) (dove considero \( \displaystyle 0 \in \mathbb{N} \) ) con la proprietà che l'insieme \( \displaystyle \{n \in \mathbb{N}\ :\ c(n) \neq 0\} \) è finito. Il polinomio \( \displaystyle c \) ammette la rappresentazione (quella che si usa sempre) \( \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty} c(i)X^i \) . Nota che questa somma (formale!) è finita.

Insomma, il "principio di identità dei polinomi" non è un teorema, è una definizione.

Se \( \displaystyle K \) è un campo e \( \displaystyle P(X) \in K[X] \) puoi sempre considerare la funzione \( \displaystyle f_P:K \to K \) definita da \( \displaystyle f_P(a) := P(a) \) . \( \displaystyle f_P \) si dice "funzione polinomiale". Questo definisce una corrispondenza \( \displaystyle P \mapsto f_P \) . Prova a dimostrare che questa corrispondenza è iniettiva (i.e. \( \displaystyle f_P \neq f_Q \) ogni volta che \( \displaystyle P \neq Q \) ) se e solo se il campo \( \displaystyle K \) è infinito.

Vedi anche qui(1), qui(2), qui(3) e qui(4).

[agenog]

Ho capito la differenza tra polinomio e funzione polinomiale ma non mi è chiaro se la risposta che ho dato è corretta. Inoltre la rappresentazione in sommatoria del polinomio è data da una sommatoria finita perchè il numero di coefficienti diversi da 0 è finita giusto?

[Martino]

La mia risposta: I polinomi non sono identici, in quanto per il principio di identità dei polinomi 2 polinomi sono identici se e solo se hanno uguali i rispettivi coefficienti.

Esatto.

la rappresentazione in sommatoria del polinomio è data da una sommatoria finita perchè il numero di coefficienti diversi da 0 è finita giusto?

Esatto.

Se hai voglia ti propongo di pensare a questo.