Potenze di binomi

[Delirium]

Anche questo è carino.

Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di \( \displaystyle (a+b)^{n} \) è uguale a \( \displaystyle 2^{n} \) per ogni \( \displaystyle n \in \mathbb{N} \) .

[Gi8]

Maturità scientifica 2005-2006 PNI

[Delirium]

Maturità scientifica 2005-2006 PNI

Esatto. E' stata la tua prova di maturità?

[xXStephXx]

Bisogna dimostrare che sommando i numeri di ogni riga del triangolo di Tartaglia si ha una potenza di 2?
E si può fare riferimento alle disposizioni? Cioè che la somma di \( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{k}}\right)} \) per \( \displaystyle {0}\le{k}\le{n} \) è uguale a \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \)?

[Delirium]

Bisogna dimostrare che sommando i numeri di ogni riga del triangolo di Tartaglia si ha una potenza di 2?[...]

Sì.

E si può fare riferimento alle disposizioni? Cioè che la somma di \( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{k}}\right)} \) per \( \displaystyle {0}\le{k}\le{n} \) è uguale a \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \)

Prova a postare.

[Paolo90]

E si può fare riferimento alle disposizioni? Cioè che la somma di \( \displaystyle {\left(\matrix{{n}\\{k}}\right)} \) per \( \displaystyle {0}\le{k}\le{n} \) è uguale a \( \displaystyle {{2}}^{{n}} \)?

Io le ho sempre sentite chiamare combinazioni. In ogni caso, con questa osservazione è immediato.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\( \displaystyle (1+1)^n = \ldots \)

[Delirium]

Nel frattempo spoilero la mia soluzione.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Lo sviluppo \( \displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \) prende il nome di formula del binomio di Newton; i numeri \( \displaystyle \binom{n}{k} \) sono i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio \( \displaystyle (a+b) \) . Ponendo \( \displaystyle a=b=1 \) si ha che \( \displaystyle (1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^{k}=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{k}+...+\binom{n}{n} \) .

[orazioster]

\( \displaystyle {1} \)
\( \displaystyle {11} \)
\( \displaystyle {121} \)
\( \displaystyle {1331} \)
\( \displaystyle {146}\ldots{1} \)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Poichè un numero in una riga del triangolo di Tartaglia, a parte
il primo e l'ultimo che sono \( \displaystyle {1} \), è uguale al numero nello stesso posto della riga superiore più il numero precedente a questo nella sua stessa riga,
allora la somma \( \displaystyle {S}_{{n}} \) per la riga \( \displaystyle {n} \)-esima è \( \displaystyle {\left[{2}\cdot{S}_{{{n}-{1}}}-{2}\right]}+{2} \).
Da \( \displaystyle {S}_{{0}}={1} \) ho allora che \( \displaystyle {S}_{{n}}={{2}}^{{n}} \)

[Dendi]

Ciao.

Per un liceale, il problema equivale a dimostrare che la somma dei numeri di una riga di Tartaglia vale una potenza di 2, e precisamente 2 elevato al secondo numero presente nella riga (oppure alla 0, se non c'è un secondo numero).

Però questa cosa può esser dimostrata secondo me anche da uno studente delle medie, una volta che gli venga spiegato il meccanismo che genera i numeri nel triangolo di Tartaglia. E dimostreremo per induzione, anche se noi, studenti delle medie, non conosciamo ancora questa terminologia.

Allora, prendiamo una riga qualunque del triangolo di Tartaglia, e per praticità possiamo prendere 1 3 3 1. Avevamo detto che dovrebbe fare 2 elevato alla 3, ed è così, come possiamo verificare: 1+3+3+1=8=2^3.

Nella riga successiva immagino che ci siano 5 cestini, nei quali metterò nell'ordine, prima 1 3 3 1 0 palline gialle, e poi 0 1 3 3 1 palline verdi, per un totale di 1 4 6 4 1 palline. Quindi ho messo due volte le palline presenti nella riga precedente, ed ho ottenuto il numero effettivamente presente in ciascuna casella di Tartaglia. Siccome ho messo il doppio numero di palline della riga precedente, e il numero precedente era una potenza di 2, ora avrò ottenuto la potenza di 2 successiva.

Spero di esser stato chiaro. L'abbiamo dimostrato in parecchie scuole medie, anche se sembra essere testo da liceo. La matematica è proprio facile.

Ciao

Giorgio Dendi - Trieste