Potenze

[TomSawyer]

Dimostrare che il prodotto di k numeri interi positivi consecutivi non è mai una k-esima potenza.

[Giusepperoma]

Questo problema equivale a cercare soluzioni intere positive per l'equazione

x(x+1)(x+2)...(x+k-1)=y^k

Il prodotto di k numeri consecutivi e' congruo a 0 modulo k (banale!) (1)

y^k e' congruo a 0 modulo k se e solo se y e' congruo a zero modulo k, quindi se e solo se y e' un multiplo di k. (y=kt)

uno e uno solo dei fattori a primo membro e' un multiplo di k chiamiamolo a. (si avra' a=kz)

ilo primo membro sara' dunque compreso fra a e a^2, cioe' fra kz e (kz)^2 e quindi non potra' esere uguale a (kt)^k (cioe' non potra' essere potenza k-esima di un multiplo di k)

l'ho fatto veramente molto di corsa in un periodo di buco.... chiedo scusa per eventuali fesserie!



appena ho tempo ci ritorno su, magari dategli un'occhiata...

ciao

[carlo23]

y^k e' congruo a 0 modulo k se e solo se y e' congruo a zero modulo k, quindi se e solo se y e' un multiplo di k. (y=kt)

Attento vale solo per \( \displaystyle {k} \) numero primo infatti se k=9 allora \( \displaystyle {{3}}^{{9}}\equiv{0}\text{mod}{9} \) ma \( \displaystyle {3} \) non è multiplo di 9 (\( \displaystyle {k} \))

Ciao!

[Giusepperoma]

giusto!

grazie ero sicuro di essermi scordato qualcosa per strada....



ora, se non ricordo male (e' una vita che non lavoro con i numeri e con le congruenze....) la mia dimostrazione si potrebbe correggere dicendo che y deve essere multiplo o sottomultiplo di k, e la dimostrazione dovrebbe funzionare lo stesso...

mi pare...

[carlo23]

ora, se non ricordo male (e' una vita che non lavoro con i numeri e con le congruenze....) la mia dimostrazione si potrebbe correggere dicendo che y deve essere multiplo o sottomultiplo di k, e la dimostrazione dovrebbe funzionare lo stesso...

Viene che \( \displaystyle {M}{C}{D}{\left({k},{{y}}^{{k}}\right)}\gt{1} \) ma non credo porti lontano...

forse si può dimostrare con il teorema di Wilson, ci penserò...

[TomSawyer]

Io ho fatto cosi':

\( \displaystyle {n}{\left({n}+{1}\right)}{\left({n}+{2}\right)}\ldots{\left({n}+{k}-{1}\right)}={{y}}^{{k}} \).

Prendendo il logaritomo di tutte e due,

\( \displaystyle {\log{{n}}}+{\log{{\left({n}+{1}\right)}}}+\ldots+{\log{{\left({n}+{k}-{1}\right)}}}={k}{\log{{y}}} \). Dividendo la parte sinistra per \( \displaystyle {\log{{y}}} \), si ottiene

\( \displaystyle \frac{{{\log{{n}}}}}{{{\log{{y}}}}}+\frac{{{\log{{\left({n}+{1}\right)}}}}}{{{\log{{y}}}}}+\ldots+\frac{{{\log{{\left({n}+{k}-{1}\right)}}}}}{{{\log{{y}}}}}={k} \). Ora, y deve essere sicuramente uno dei numeri consecutivi. Quindi una frazione tra quelle dell`equazione di sopra deve essere uguale a 1. Se k e' dispari, allora si avra' un numero di termini <1, inferiore a quelli >1. Questo valore sara' in ogni caso minore di k-1. Precisamente, per k-->n, si ha che la parte di destra tende a k-2. Un ragionamento analogo si fa per il caso in cui k e' pari.

Spero di non aver detto cavolate .