Potenziale di una sfera con densità volumetrica variabile

[drcave]

Salve, ho una carica distribuita dentro una sfera di raggio R, ma la densità varia linearmente in funzione della distanza dal centro in questo modo \( \displaystyle \rho=\rho_{{0}}\frac{{r}}{{R}} \), \( \displaystyle \rho_{{0}} \) è noto.
Devo determinare la differenza di potenziale fra il centro e la superficie della sfera.
Ho provato ad abbozzare qualcosa ditemi per piacere se procedo bene.

Per definizione di densità volumetrica:

\( \displaystyle {d}{q}=\rho{d}\tau\Rightarrow{d}{q}=\rho_{{0}}\frac{{r}}{{R}}{d}\tau \)
\( \displaystyle {d}{q}=\rho_{{0}}\frac{{{d}{r}}}{{R}}{\left(\frac{{4}}{{3}}\pi{{R}}^{{3}}\right)}=\frac{{4}}{{3}}\pi\rho_{{0}}{{R}}^{{2}}{d}{r} \)

Il campo è:

\( \displaystyle {E}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\frac{{{4}\pi\rho_{{0}}{{R}}^{{2}}}}{{{3}{\left({4}\pi\epsilon_{{0}}{{r}}^{{2}}\right)}}}{d}{r}=\frac{{\pi\rho_{{0}}{{R}}^{{2}}}}{{{3}\epsilon_{{0}}}}{\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\frac{{1}}{{{r}}^{{2}}}{d}{r}=\frac{{\pi\rho_{{0}}{R}}}{{{3}\epsilon_{{0}}}} \)

La ddp è quindi:

\( \displaystyle {V}_{{0}}-{V}_{{R}}={\int_{{{0}}}^{{{R}}}}\frac{{\pi\rho_{{0}}{R}}}{{{3}\epsilon_{{0}}}}{d}{r}=\frac{{\pi\rho_{{0}}{{R}}^{{2}}}}{{{3}\epsilon_{{0}}}} \)

E' giusto?

Ho provato ha calcolarlo risparmiando un pò d passaggi usando la formula:

\( \displaystyle {V}_{{0}}-{V}_{{R}}={\int_{{\tau}}^{{}}}\frac{{{k}_{{e}}\rho}}{{r}}{d}\tau={k}_{{e}}{\int_{{\tau}}^{{}}}\frac{{\rho_{{0}}{r}}}{{{R}{r}}}{d}\tau \)

Poichè il volume intero della sfera è \( \displaystyle \frac{{4}}{{3}}\pi{{R}}^{{3}} \):

\( \displaystyle {V}_{{0}}-{V}_{{R}}=\frac{{\pi\rho_{{0}}{{R}}^{{2}}}}{{{3}\epsilon_{{0}}}} \)

Sono giusti i ragionamenti? Grazie.