Preparandosi alla NORMALE

[Paolo90]

ovviamente intendo che \( \displaystyle {x}\in{N} \)...

[codino75]

Ed eccone uno + difficilitto...poi lascio per un pò il topic x non intasarlo...
Dimostrare che
\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}{b} \)
Dire quando si ha l'ugualianza
\( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono numeri reali...

allora io ragiono così:
\( \displaystyle {a}\lt{0} \) implica \( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{0} \) e \( \displaystyle {{a}}^{{3}}{b}\le{0} \)
\( \displaystyle {b}\lt{0} \) implica \( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{0} \) e \( \displaystyle {{a}}^{{3}}{b}\le{0} \)

quindi resta da dimostrare per \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) maggiori di \( \displaystyle {0} \).
Io ho provato ad avanzare con i calcoli e sono arrivato a

\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}+{2}{{a}}^{{2}}{{b}}^{{2}}\ge{{a}}^{{3}}{b}+{2}{{a}}^{{2}}{{b}}^{{2}} \)
\( \displaystyle {{\left({{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}\right)}}^{{2}}\ge{{a}}^{{2}}{\left({a}+{2}{b}\right)} \)
non so quanto possa essere utile questa cosa ma...

hai tralasciato il caso a<0 E b<0 , mi pare.

[in_me_i_trust]

Non sono bravo in sti giochini però per il caso del quadrato ho fatto

\( \displaystyle {x}{\left({x}+{1}\right)}{\left({x}+{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}+{1}={{x}}^{{{4}}}+{6}{{x}}^{{{3}}}+{11}{{x}}^{{{2}}}+{1}={{\left({{x}}^{{{2}}}+{3}{x}+{1}\right)}}^{{2}} \)

che (spero) dimostra la tesi ciao

[angus89]

hai tralasciato il caso a<0 E b<0 , mi pare.

giusto...bel casino ora...

[Paolo90]

Non sono bravo in sti giochini però per il caso del quadrato ho fatto

\( \displaystyle {x}{\left({x}+{1}\right)}{\left({x}+{2}\right)}{\left({x}+{3}\right)}+{1}={{x}}^{{{4}}}+{6}{{x}}^{{{3}}}+{11}{{x}}^{{{2}}}+{1}={{\left({{x}}^{{{2}}}+{3}{x}+{1}\right)}}^{{2}} \)

che (spero) dimostra la tesi ciao

mitico! sei un grande.... e dire che ci ho passato sopra un bel po' di tempo.. non ci ero arrivato... grazie mille!!! enjoy maths! Pol

[angus89]

Ed eccone uno + difficilitto...poi lascio per un pò il topic x non intasarlo...
Dimostrare che
\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}{b} \)
Dire quando si ha l'ugualianza
\( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono numeri reali...

Nessuno si fà avanti x questo problema???

[angus89]

Dimostrare che
\( \displaystyle {{a}}^{{4}}+{{b}}^{{4}}\ge{{a}}^{{3}}{b} \)
Dire quando si ha l'ugualianza
\( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \) sono numeri reali...

Nessuno nessuno?!
Dai aiutatemi!
Io ci sto ancora sbattendo la testa

[codino75]

prova a pensare alle possibili relazioni tra a e b...invece che tra a e 0 e tra b e 0.
have a good time

[TomSawyer]

Il caso in cui \( \displaystyle {a}\lt{0}\wedge{b}\lt{0} \) è chiaramente equivalente a quello in cui \( \displaystyle {a}\ge{0}\wedge{b}\ge{0} \). Appurato questo, un modo per dimostrarla è dividere tutto per \( \displaystyle {{a}}^{{2}} \), per avere \( \displaystyle {{a}}^{{2}}+\frac{{{b}}^{{4}}}{{{a}}^{{2}}}\ge{a}{b} \). Dalla AM-GM si sa che \( \displaystyle \frac{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}{{2}}\ge{a}{b} \). Quindi ora basta osservare che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}+\frac{{{b}}^{{4}}}{{{a}}^{{2}}}\ge\frac{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}{{2}} \), perché dopo si avrà che \( \displaystyle {{a}}^{{2}}+\frac{{{b}}^{{4}}}{{{a}}^{{2}}}\ge\frac{{{{a}}^{{2}}+{{b}}^{{2}}}}{{2}}\ge{a}{b} \).

[Steven]

Ti mostro un altro modo più immediato.
Dividi la disequazione per \( \displaystyle {{a}}^{{4}} \) ottenendo
\( \displaystyle {1}+\frac{{{b}}^{{4}}}{{{{a}}^{{4}}}}=\frac{{b}}{{a}} \)
A questo punto poniamo
\( \displaystyle \frac{{b}}{{a}}={k} \) ottenendo
\( \displaystyle {1}+{{k}}^{{4}}\gt{k} \)
\( \displaystyle {{k}}^{{4}}\gt{k}-{1} \)
Per \( \displaystyle {k}\le{1} \) è banalmente verificata.
Per \( \displaystyle {k}\gt{1} \), anche, dal momento che se la base è positiva maggiore di 1, l'elevamento a potenza intera non può che aumentare il suo valore
\( \displaystyle {{k}}^{{4}}\ge{k} \)
e a maggior ragione se il secondo membro è diminuito di 1, come nel nostro caso.

Ciao