Rilancio con un problema molto più recente ('99) ma non difficilissimo...
Sia T un triangolo avente lati di lunghezza \( \displaystyle {a},{b},{c} \) e siano \( \displaystyle {h}_{{a}},{h}_{{b}},{h}_{{c}} \) le
altezze rispettive. Indicata con \( \displaystyle {A} \) l'area del triangolo, si mostri che se vale l’equazione
\( \displaystyle {6}{A}={a}\cdot{h}_{{b}}+{b}\cdot{h}_{{c}}+{c}\cdot{h}_{{a}} \)
allora T è un triangolo equilatero.
Buon divertimento...
da WiZaRd » 24/08/2007, 22:24
non so quanto corretto sia ma io ci provo, confidando nella vostra comprensione qualora io la spari grossa...
partendo dalle disuguaglianze di riordinamento, si osserva che le disuguaglianze sono intese in senso largo e il segno di uguale vale solo nel caso in cui gli elementi delle n-upla moltiplicativa sono uguali tra loro...quindi le altezze sono uguali tra loro e questo implica la regolarità del triangolo o viceversa i lati sono uguali tra loro e questo implica direttamente la regolarità del triangolo
ciao
partendo dalle disuguaglianze di riordinamento, si osserva che le disuguaglianze sono intese in senso largo e il segno di uguale vale solo nel caso in cui gli elementi delle n-upla moltiplicativa sono uguali tra loro...quindi le altezze sono uguali tra loro e questo implica la regolarità del triangolo o viceversa i lati sono uguali tra loro e questo implica direttamente la regolarità del triangolo
ciao
"Everybody lies" (Dr. House)
"La morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
"Eliminato l'impossibile, ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità" (Sherlock Holmes)
"La morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
"Eliminato l'impossibile, ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità" (Sherlock Holmes)
-
WiZaRd - Cannot live without
- Messaggi: 4486
- Iscritto il: 11/05/2007, 22:00
da fu^2 » 25/08/2007, 02:26
digi88 ha scritto:Rilancio con un problema molto più recente ('99) ma non difficilissimo...
Sia T un triangolo avente lati di lunghezza \( \displaystyle {a},{b},{c} \) e siano \( \displaystyle {h}_{{a}},{h}_{{b}},{h}_{{c}} \) le
altezze rispettive. Indicata con \( \displaystyle {A} \) l'area del triangolo, si mostri che se vale l’equazione
\( \displaystyle {6}{A}={a}\cdot{h}_{{b}}+{b}\cdot{h}_{{c}}+{c}\cdot{h}_{{a}} \)
allora T è un triangolo equilatero.
Buon divertimento...
prima di tutto riscriviamo l'ugualgianza come \( \displaystyle {3}{A}=\frac{{{a}{h}_{{b}}}}{{2}}+\frac{{{b}{h}_{{c}}}}{{2}}+\frac{{{c}{h}_{{a}}}}{{2}}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{r}{i}{c}{\quad\text{or}\quad}{d}{\quad\text{and}\quad}{o}{c}{h}{e}{p}{e}{r}{o}{g{{n}}}{i}{t}{r}{i}{a}{n}{g{{o}}}{l}{o}{e}{s}{i}{s}{t}{e}{n}{t}{e}{v}{a}\le{l}{a}{s}{e}{g{{u}}}{e}{n}{t}{e}{u}{g{{u}}}{a}{g{{l}}}{i}{a}{n}{z}{a} \)(ah_a)/2=(bh_b)/2=(ch_c)/2=A\( \displaystyle {p}{o}{s}{s}{i}{a}{m}{o}{r}{i}{s}{c}{r}{i}{v}{e}{r}{e}{l}'{u}{g{{u}}}{a}{g{{l}}}{i}{a}{n}{z}{a}\in{i}{z}{i}{a}\le\in{q}{u}{e}{s}\to\text{mod}{o}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)ah_a+bh_b+ch_c=ah_b+bh_c+ch_a\( \displaystyle {r}{a}{\mathcal{{o}}}{g{{l}}}{i}{e}{n}{d}{o}{o}{\mathtt{{e}}}{n}{i}{a}{m}{o}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)a(h_a-h_b)+b(h_b-h_c)+c(h_c-h_a)=0\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{e}{s}{s}{e}{n}{d}{o}{c}{h}{e} \)a,b,c,h_a,h_b,h_c>0\( \displaystyle {\left(\in{q}{u}{a}{n}\to{s}{o}{n}{o}{l}{a}{t}{i}{e}{a}\lt{e}{z}{z}{e}{d}{e}{i}{t}{r}{i}{a}{n}{g{{o}}}{l}{i}\right)},{l}'{u}{n}{i}{c}{o}\text{mod}{o}{p}{e}{r}{r}{e}{n}{d}{e}{r}{e}{v}{e}{r}{a}{q}{u}{e}{s}{t}{a}{u}{g{{u}}}{a}{g{{l}}}{i}{a}{n}{z}{a}è{c}{h}{e}\le{s}{o}{\mathtt{{r}}}{a}{z}{i}{o}{n}{i}\in{p}{a}{r}{e}{n}{t}{e}{s}{i}{s}{i}{a}\cap{\underline{{l}}}\in{o},{s}{i}{h}{a}{q}{u}\in{d}{i}{c}{h}{e} \)h_a=h_b\( \displaystyle {e} \)h_b=h_c\( \displaystyle {d}{i}{c}{o}{n}{s}{e}{g{{u}}}{e}{n}{z}{a} \)h_a=h_c\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{a}{\mathbf{{i}}}{a}{m}{o}{r}{i}{c}{a}{v}{a}\to{c}{h}{e},{p}{e}{r}{r}{e}{n}{d}{e}{r}{e}{v}{e}{r}{a}{l}'{u}{a}{g{{u}}}{a}{g{{l}}}{i}{a}{n}{z}{a}{b}{i}{s}{o}{g{{n}}}{a}{a}{v}{e}{r}{e} \)h_a=h_b=h_c\( \displaystyle {e}{q}{u}{e}{s}{t}{a}è{u}{n}{a}{c}{o}{n}{d}{i}{z}{i}{o}\ne\ne{c}{e}{s}{s}{a}{r}{i}{a}{e}{s}{u}{f{{f{{i}}}}}{c}{i}{e}{n}{t}{e}{a}{f{{f{\in}}}}{c}{h}è{i}{l}{t}{r}{i}{a}{n}{g{{o}}}{l}{o}{s}{i}{a}{e}{q}{u}{i}{l}{a}{t}{e}{r}{o},{o}\vee{e}{r}{o}{c}{h}{e} \)a=b=c$.
l'uguaglianza posta vale quindi se e solo se il triangolo è equilatero, cvd.
"bisogna sognare, se non va bene, al massimo si è sognato e fantasticato un po' ed è stato comunque bello!"
-
fu^2 - Cannot live without
- Messaggi: 3594
- Iscritto il: 06/09/2006, 22:04
- Località: Milano
da digi88 » 25/08/2007, 07:27
Ehehe bravi!!!! 
Per usare il riarrangiamento in maniera un po più formale basta sostituire \( \displaystyle {h}_{{a}}=\frac{{{2}{A}}}{{a}} \), ma questo è banale...
Avete qualke problemino voi da postare??? Anche se non li ho mai fatti penso che anche quelli del Sant'Anna siano di questo tipo...
Per usare il riarrangiamento in maniera un po più formale basta sostituire \( \displaystyle {h}_{{a}}=\frac{{{2}{A}}}{{a}} \), ma questo è banale...
Avete qualke problemino voi da postare??? Anche se non li ho mai fatti penso che anche quelli del Sant'Anna siano di questo tipo...
- digi88
- New Member
- Messaggi: 61
- Iscritto il: 30/06/2006, 17:21
da fu^2 » 25/08/2007, 10:08
dai ne propongo uno facile (tranne gli ultimi due punti che sono un filo più ostici, ma più belli quindi), un filo lungo ma quando l'ho fatto l'ho trovato simpatico 
direttamente dal concorso delle borse di studio dell'INdam ecco il problema!:wink:
(a) Trovare un polinomio non costante P(x) che assuma 2005 volte il valore 2005.
(b) Spiegare per quale motivo un polinomio che assume infinite volte lo stesso valore
necessariamente è costante.
(c) Mostrare che se G(x) è un polinomio non costante a coefficienti interi ed il suo
termine noto è diverso da ±1, allora esiste un intero k tale che G(k) non è primo
(e diverso da ±1).
(d) M o s t r a re più in generale che, se G(x) è un qualsiasi polinomio non costante a
coefficienti interi, allora esiste un intero k tale che G(k) non è primo (ed è diverso
da ±1).
direttamente dal concorso delle borse di studio dell'INdam ecco il problema!:wink:
(a) Trovare un polinomio non costante P(x) che assuma 2005 volte il valore 2005.
(b) Spiegare per quale motivo un polinomio che assume infinite volte lo stesso valore
necessariamente è costante.
(c) Mostrare che se G(x) è un polinomio non costante a coefficienti interi ed il suo
termine noto è diverso da ±1, allora esiste un intero k tale che G(k) non è primo
(e diverso da ±1).
(d) M o s t r a re più in generale che, se G(x) è un qualsiasi polinomio non costante a
coefficienti interi, allora esiste un intero k tale che G(k) non è primo (ed è diverso
da ±1).
"bisogna sognare, se non va bene, al massimo si è sognato e fantasticato un po' ed è stato comunque bello!"
-
fu^2 - Cannot live without
- Messaggi: 3594
- Iscritto il: 06/09/2006, 22:04
- Località: Milano
da WiZaRd » 25/08/2007, 14:01
allora vediamo un poco...
1) il polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={2005}+{\prod_{{{k}={1}}}^{{{2005}}}}{\left({x}-{k}\right)} \) è un polinomio che gode della proprietà richiesta perchè ci sono esattamente \( \displaystyle {2005} \) valori di \( \displaystyle {x} \) per ognuno dei quali il prodotto si annulla e per ciascuno di questi il polinomio ad altro non è uguale se non a \( \displaystyle {2005} \).
2) supponiamo per assurdo che esiste un polinomio \( \displaystyle {G}{\left({x}\right)} \) per il quale ad infiniti valori della variabile \( \displaystyle {x} \) corrisponde lo stesso valore \( \displaystyle {V} \) ma tale polinomio non è costante; costruita allora l'equazione \( \displaystyle {G}{\left({x}\right)}-{V}={0} \) questa ha infinite soluzioni mentre si sa che una equazione ha tante soluzioni quante quelle indicate dal suo grado e quindi si ha un assurdo che deve indurre necessariamente a ritenere che un polinomio che aasume infinite volte lo stesso valore è costante: in tal caso si ha un'identità e quindi il discorso sulle radici dell'equazione cade
3) sia \( \displaystyle {G}{\left({x}\right)}={a}_{{n}}{{x}}^{{n}}+{a}_{{{n}-{1}}}{{x}}^{{{n}-{1}}}+{a}_{{{n}-{2}}}{{x}}^{{{n}-{2}}}+\cdot\cdot\cdot+{a}_{{0}} \) il polinomio non costante in questione con \( \displaystyle {a}_{{k}}\in\mathbb{Z} \) e \( \displaystyle {k}={n},{n}-{1},{n}-{2},\ldots,{0} \); il termine noto è evidentemente \( \displaystyle {a}_{{0}}={G}{\left({0}\right)} \) e deve essere per ipotesi \( \displaystyle {a}_{{0}}\ne\pm{1} \). Sia dunqe \( \displaystyle {q} \) il valore di questo termine noto: \( \displaystyle {q}={a}_{{0}} \); se \( \displaystyle {a}_{{0}}={q}={0} \) si ottiene evidentemente la tesi \( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{Z} \) non primo: basterà infatti mettere in evidenza \( \displaystyle {x} \) e il polinomio \( \displaystyle {G}{\left({k}={x}\ne{0}\right)} \) sarà un multiplo di \( \displaystyle {x} \) che non essendo primo renderà non primo anche il polinomio, oppure sarà \( \displaystyle {G}{\left({k}={x}={0}\right)}={0} \); se invece \( \displaystyle {a}_{{0}}={q}\ne{0} \) allora prendiamo \( \displaystyle {k}={x}={m}{q} \) con \( \displaystyle {m}\in\mathbb{Z}-{\left\lbrace{0},{1},-{1}\right\rbrace} \) e mettiamo in evidenza \( \displaystyle {q} \) scomponendo il polinomio nel prodotto di due interi di cui uno è \( \displaystyle {q} \): se \( \displaystyle {q} \) non è primo allora abbiamo finito, se invece \( \displaystyle {q} \) è primo allora perchè il prodotto in cui \( \displaystyle {G}{\left({x}={k}\right)} \) è stato scomposto non sia primo deve essere diverso da \( \displaystyle \pm{1} \) l'altro fattore e poichè un'equazione ha tante radici quante quelle indicate dal grado, allora tutti i valori che non verificano l'uguaglianza del fattore a \( \displaystyle \pm{1} \) vanno bene
in questo modo si è mostrata la possibilità di scegliere \( \displaystyle {x}={k} \) tale per cui si ottiene la tesi
4) bastano considerazioni analoghe a quelle del punto 3) e l'osservazione che l'uguaglianza a \( \displaystyle -+{1} \) si ha per un numero finito di valori e tutti gli altri, sotto opportune condizioni, soddisfano la tesi
va bene?
1) il polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={2005}+{\prod_{{{k}={1}}}^{{{2005}}}}{\left({x}-{k}\right)} \) è un polinomio che gode della proprietà richiesta perchè ci sono esattamente \( \displaystyle {2005} \) valori di \( \displaystyle {x} \) per ognuno dei quali il prodotto si annulla e per ciascuno di questi il polinomio ad altro non è uguale se non a \( \displaystyle {2005} \).
2) supponiamo per assurdo che esiste un polinomio \( \displaystyle {G}{\left({x}\right)} \) per il quale ad infiniti valori della variabile \( \displaystyle {x} \) corrisponde lo stesso valore \( \displaystyle {V} \) ma tale polinomio non è costante; costruita allora l'equazione \( \displaystyle {G}{\left({x}\right)}-{V}={0} \) questa ha infinite soluzioni mentre si sa che una equazione ha tante soluzioni quante quelle indicate dal suo grado e quindi si ha un assurdo che deve indurre necessariamente a ritenere che un polinomio che aasume infinite volte lo stesso valore è costante: in tal caso si ha un'identità e quindi il discorso sulle radici dell'equazione cade
3) sia \( \displaystyle {G}{\left({x}\right)}={a}_{{n}}{{x}}^{{n}}+{a}_{{{n}-{1}}}{{x}}^{{{n}-{1}}}+{a}_{{{n}-{2}}}{{x}}^{{{n}-{2}}}+\cdot\cdot\cdot+{a}_{{0}} \) il polinomio non costante in questione con \( \displaystyle {a}_{{k}}\in\mathbb{Z} \) e \( \displaystyle {k}={n},{n}-{1},{n}-{2},\ldots,{0} \); il termine noto è evidentemente \( \displaystyle {a}_{{0}}={G}{\left({0}\right)} \) e deve essere per ipotesi \( \displaystyle {a}_{{0}}\ne\pm{1} \). Sia dunqe \( \displaystyle {q} \) il valore di questo termine noto: \( \displaystyle {q}={a}_{{0}} \); se \( \displaystyle {a}_{{0}}={q}={0} \) si ottiene evidentemente la tesi \( \displaystyle \forall{x}\in\mathbb{Z} \) non primo: basterà infatti mettere in evidenza \( \displaystyle {x} \) e il polinomio \( \displaystyle {G}{\left({k}={x}\ne{0}\right)} \) sarà un multiplo di \( \displaystyle {x} \) che non essendo primo renderà non primo anche il polinomio, oppure sarà \( \displaystyle {G}{\left({k}={x}={0}\right)}={0} \); se invece \( \displaystyle {a}_{{0}}={q}\ne{0} \) allora prendiamo \( \displaystyle {k}={x}={m}{q} \) con \( \displaystyle {m}\in\mathbb{Z}-{\left\lbrace{0},{1},-{1}\right\rbrace} \) e mettiamo in evidenza \( \displaystyle {q} \) scomponendo il polinomio nel prodotto di due interi di cui uno è \( \displaystyle {q} \): se \( \displaystyle {q} \) non è primo allora abbiamo finito, se invece \( \displaystyle {q} \) è primo allora perchè il prodotto in cui \( \displaystyle {G}{\left({x}={k}\right)} \) è stato scomposto non sia primo deve essere diverso da \( \displaystyle \pm{1} \) l'altro fattore e poichè un'equazione ha tante radici quante quelle indicate dal grado, allora tutti i valori che non verificano l'uguaglianza del fattore a \( \displaystyle \pm{1} \) vanno bene
in questo modo si è mostrata la possibilità di scegliere \( \displaystyle {x}={k} \) tale per cui si ottiene la tesi
4) bastano considerazioni analoghe a quelle del punto 3) e l'osservazione che l'uguaglianza a \( \displaystyle -+{1} \) si ha per un numero finito di valori e tutti gli altri, sotto opportune condizioni, soddisfano la tesi
va bene?
"Everybody lies" (Dr. House)
"La morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
"Eliminato l'impossibile, ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità" (Sherlock Holmes)
"La morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando" (Marco Aurelio)
"Eliminato l'impossibile, ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità" (Sherlock Holmes)
-
WiZaRd - Cannot live without
- Messaggi: 4486
- Iscritto il: 11/05/2007, 22:00
da fu^2 » 28/08/2007, 15:00
si, mi pare che vada bene a prima lettura
qualcuno a qualche altro proiblemi stuzzicante da proporre?
qualcuno a qualche altro proiblemi stuzzicante da proporre?
"bisogna sognare, se non va bene, al massimo si è sognato e fantasticato un po' ed è stato comunque bello!"
-
fu^2 - Cannot live without
- Messaggi: 3594
- Iscritto il: 06/09/2006, 22:04
- Località: Milano
impossibile
da angus89 » 07/09/2007, 14:39
dopo non sò quanto tempo che mi cimento con questo esercizio sono giunto a conclusione che io non sono in grado di risolvere questo problema...quindi ecco a voi
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{p}}^{{z}} \)
con \( \displaystyle {x} \),\( \displaystyle {y} \) e \( \displaystyle {z} \) appartenenti ad \( \displaystyle {N} \) (escluso lo 0) e \( \displaystyle {p} \) numero primo...trovare le/la soluzioni/e...
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{p}}^{{z}} \)
con \( \displaystyle {x} \),\( \displaystyle {y} \) e \( \displaystyle {z} \) appartenenti ad \( \displaystyle {N} \) (escluso lo 0) e \( \displaystyle {p} \) numero primo...trovare le/la soluzioni/e...
Cieli Sereni!
-
angus89 - Average Member
- Messaggi: 533
- Iscritto il: 18/03/2007, 12:15
- Località: Pisa
da fu^2 » 07/09/2007, 15:22
\( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}={{p}}^{{z}} \), con \( \displaystyle {x},{y}{z}\in\mathbb{N} \) e \( \displaystyle {p} \) primo
da notare innanzitutto da notare che \( \displaystyle {p} \) è dispari \( \displaystyle \forall{p}\gt{2} \), quindi \( \displaystyle {{p}}^{{z}} \) è un numero dispari con unico divisore p.
quindi, se x e y sono o entrambi pari o entrambi dispari, anche x^p e y^p saranno o entrambi pari o entrambi dispari e quindi la loro somma darà sempre un numero pari, quindi nessuna soluzione...
se x è pari e y è dispari (o viceversa) \( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}} \) sarà un numero dispari, formato dai divisori di x+y, quindi si avrà che \( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}\ne\text{mod}{{p}}^{{z}} \) \( \displaystyle \forall_{{{x},{y},{p},{z}\in\mathbb{N}\right.}} \) con p primo.
quindi le soluzioni bisogna cercarle ponendo p=2
è facile trovare chegli unici valori che soddisfano l'equazione sono x=y=4 e z=5 e come detto prima p=2
altre soluzioni non le ho trovate
spero sia giusto e che abbia detto tutto chiaramente.. ciaoooo
da notare innanzitutto da notare che \( \displaystyle {p} \) è dispari \( \displaystyle \forall{p}\gt{2} \), quindi \( \displaystyle {{p}}^{{z}} \) è un numero dispari con unico divisore p.
quindi, se x e y sono o entrambi pari o entrambi dispari, anche x^p e y^p saranno o entrambi pari o entrambi dispari e quindi la loro somma darà sempre un numero pari, quindi nessuna soluzione...
se x è pari e y è dispari (o viceversa) \( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}} \) sarà un numero dispari, formato dai divisori di x+y, quindi si avrà che \( \displaystyle {{x}}^{{p}}+{{y}}^{{p}}\ne\text{mod}{{p}}^{{z}} \) \( \displaystyle \forall_{{{x},{y},{p},{z}\in\mathbb{N}\right.}} \) con p primo.
quindi le soluzioni bisogna cercarle ponendo p=2
è facile trovare chegli unici valori che soddisfano l'equazione sono x=y=4 e z=5 e come detto prima p=2
altre soluzioni non le ho trovate
spero sia giusto e che abbia detto tutto chiaramente.. ciaoooo
"bisogna sognare, se non va bene, al massimo si è sognato e fantasticato un po' ed è stato comunque bello!"
-
fu^2 - Cannot live without
- Messaggi: 3594
- Iscritto il: 06/09/2006, 22:04
- Località: Milano
da TomSawyer » 07/09/2007, 15:43
Mille volte postato. Ciò che dici, fu^2, andrebbe giustificato, non ho ben capito.
I watched a snail crawl along the edge of a straight razor. That's my dream. That's my nightmare. Crawling, slithering, along the edge of a straight... razor... and surviving., Walter E. Kurtz
-
TomSawyer - Advanced Member
- Messaggi: 2410
- Iscritto il: 16/11/2005, 16:18
Chi c’è in linea
Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti
