Principio d'Induzione Matematica

[ndrels]

Salve a tutti, ho un problema con una dimostrazione di un esercizio:

\(\sum_{k=0}^n\)\([(2k+1)^2 - (2k)^2] = (n+1)(2n+1)\)
Ho semplificato entrambi i membri dell'equazione ottenendo: \((4k+1) = (2n^2+3n+1)\)
Poi ho fatto la prova per \(n=0\) e avendomi dato una corrispondenza \(1=1\) allora ho provato la validità per \(n=k+1\), sostituendolo al secondo membro dell'equazione che ho trovato e dopo una serie di passaggi ho ottenuto:\(2k^2+7k+5\) provando che non è valido per \(k+1\).
Credo che sia ampiamente sbagliato, però non riesco a capire dove..
Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie!

[GundamRX91]

Per \( \displaystyle {k}={0} \) si ha \( \displaystyle {{\left({2}\cdot{0}+{1}\right)}}^{{2}}-{{\left({2}\cdot{0}\right)}}^{{2}}={1} \) e \( \displaystyle {\left({0}+{1}\right)}{\left({2}\cdot{0}+{1}\right)}={1} \)
Posto che la proposizione sia valida per un generico \( \displaystyle {k}\gt{0} \) verifico per \( \displaystyle {k}+{1} \) e \( \displaystyle {n}+{1} \).

\( \displaystyle {{\left[{2}{\left({k}+{1}\right)}+{1}\right]}}^{{2}}-{{\left[{2}{\left({k}+{1}\right)}\right]}}^{{2}}={{\left({2}{k}+{2}+{1}\right)}}^{{2}}-{{\left({2}{k}+{2}\right)}}^{{2}}={{\left({2}{k}+{3}\right)}}^{{2}}-{{\left({2}{k}+{2}\right)}}^{{2}} \)

e

\( \displaystyle {\left[{\left({n}+{1}\right)}+{1}\right]}{\left[{2}{\left({n}+{1}\right)}+{1}\right]}={\left({n}+{2}\right)}{\left({2}{n}+{3}\right)} \)

Quindi \( \displaystyle {\sum_{{{k}={0}}}^{{n}}}{{\left({2}{k}+{3}\right)}}^{{2}}-{{\left({2}{k}+{2}\right)}}^{{2}}={\left({n}+{2}\right)}{\left({2}{n}+{3}\right)} \)