Principio di induzione - disequazione

[giampfrank]

Ciao, volevo chiedere aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Si dimostri per induzione su \( \displaystyle {n}\in{N} \) che, per ogni intero \( \displaystyle {n}\ge{5} \) vale:
\( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}} \). Si calcoli inoltre il minimo intero \( \displaystyle {m}\in{N} \) per cui la precedente disuguaglianza sia valida per ogni \( \displaystyle {n}\ge{m} \).

Io parto verificando che la disequazione P(0) in \( \displaystyle {n}={5} \) sia vera, ed infatti lo è:
\( \displaystyle {{2}}^{{5}}\gt{{5}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}} \) => \( \displaystyle \frac{{64}}{{2}}\gt\frac{{49}}{{2}} \)
Proseguendo verifico \( \displaystyle {P}{\left({n}+{1}\right)}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2^(n+1) > (n+1)^2 - 1/2 \( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2*2^n > n^2 + 2^n + 1/2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{e}{r}{i}{p}{o}{t}{e}{s}{i}, \)2*2^n > 2*(n^2 - 1/2)\( \displaystyle ,{q}{u}\in{d}{i}{a}{s}\sum{o}{c}{h}{e}:\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)2*(n^2-1/2) >= n^2 +2*n + 1/2\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)n^2-2*n>3/2$

Fin qui è corretto? Poi come proseguo?

Grazie mille!
Giampaolo

[misanino]

Direi che ti stai un po' complicando la vita.
Una base di induzione ce l'hai (ed è 5 come hai detto).
Ora devi supporre vero che \( \displaystyle {{2}}^{{n}}\gt{{n}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}} \)
e dimostrare che ciò vale per \( \displaystyle {n}+{1} \) e cioè che \( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}\gt{{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}} \).
Per farlo non scrivere la disuguaglianza che devi dimostrare, ma scrivi solo il primo pezzo di essa e modificalo fino ad arrivare a ciò che vuoi.
Cioè:
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}} \)
Applichi ora l'ipotesi di induzione e hai
\( \displaystyle {{2}}^{{{n}+{1}}}={2}\cdot{{2}}^{{n}}\gt{2}\cdot{\left({{n}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}}\right)}={2}\cdot{\left({{\left({n}+{1}-{1}\right)}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}}\right)}={2}\cdot{\left({{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}+{1}-{2}{\left({n}+{1}\right)}-\frac{{1}}{{2}}\right)}={{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}}+{\left({{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}}+{2}-{4}{\left({n}+{1}\right)}\right)} \)
Ti basta quindi che sia \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-\frac{{1}}{{2}}+{2}-{4}{\left({n}+{1}\right)}\ge{0} \) cioè \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-{4}{\left({n}+{1}\right)}+\frac{{3}}{{2}}\ge{0} \)
e quindi ti basta \( \displaystyle {{\left({n}+{1}\right)}}^{{2}}-{4}{\left({n}+{1}\right)}+{1}\ge{0} \)
Se poni quindi \( \displaystyle {x}={n}+{1} \) ti basta vedere se per x abbastanza grande (cioè per n abbastanza grande) è vero che \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{4}{x}+{1}\gt{0} \)
Se risolvi tale disequazione trovi \( \displaystyle {x}\le{2}-\sqrt{{{3}}} \) o \( \displaystyle {x}\gt{2}+\sqrt{{{3}}} \).
Quindi se \( \displaystyle {n}+{1}\ge{2}+\sqrt{{{3}}} \) cioè se \( \displaystyle {n}+{1}\ge{4} \) cioè se \( \displaystyle {n}\ge{3} \) allora vale il tutto, e hai anche trovato il minimo \( \displaystyle {n} \) per cui vale