principio di induzione

[gnappo90]

mi fareste un esempio numerico semplice per capire il principio di induzione?
grazie

[wide87]

Beh vedi in realtà l'esempio numerico (come lo chiami tu) esiste..Anzi ce ne sono infiniti..
Però sappi che capire l'induzione matematica nella sua vera potenza è davvero difficile attraverso un mero esempio, anzi, preferirei dire RIDUTTIVO e inefficace.

L'induzione sostanzialmente è questo: Se un sottoinsieme \( \displaystyle {A} \) dell'insieme dei numeri naturali \( \displaystyle {\mathbb{{N}}} \) contenente lo zero, ha la caratteristica di avere il 'successivo' di ogni elemento, allora quell'insieme è tutto \( \displaystyle {\mathbb{{N}}} \).
Magari spontaneamente avrai detto "Bella scoperta dell'acqua calda" e invece è un ASSIOMA su cui si basano alcuni dei più importanti teoremi.

L'applicazione immediata è questa: Se una proprietà definita sui Naturali è vera per lo zero (questo step è noto come "base dell'induzione") e inoltre il supporla vera per un qualsiasi \( \displaystyle {n}\in{\mathbb{{N}}} \) implica la verità della proprietà anche per \( \displaystyle {n}+{1} \) ("passo" dell'induzione) allora la proprietà è vera SEMPRE (cioè per ogni numero naturale).

Ti consiglio di ragionarci un po' su prima di buttarti con l'esempio e solo quando vedi più luce, prova a dimostrare con l'induzione, ad esempio, la regola di Gauss per la somma dei primi n interi:
Ovvero:
\( \displaystyle {1}+{2}+{3}+\ldots+{n}=\frac{{{n}{\left({n}+{1}\right)}}}{{2}} \)

E' vera per \( \displaystyle {n}={0} \)?
Supposta vera per \( \displaystyle {n} \) riesci a provare che vale per \( \displaystyle {n}+{1} \) ?