Probabilità-Geometria-Analisi

[Piera]

Oggi sono impazzito (ma forse lo si era già capito), propongo i seguenti 3 quesiti:

1)Probabilità
Due utenti di Matematicamente vivono nella stessa città e decidono di incontrarsi in un luogo prestabilito alle 18;30. Poichè entrambi sono distratti, dimenticano l'ora dell'incontro. Di conseguenza ciascuno arriva a caso tra le 18 e le 19, aspetta 10 minuti e, se l'altro nel frattempo non arriva, se ne va. Qual è la probabilità che i due utenti passino insieme la serata? (assumere che gli istanti di arrivo siano indipendenti e uniformi)

2)Geometria
Dato un cerchio C e un punto esterno P, consideriamo una coppia di rette secanti C uscenti da P che formano un angolo di 5°. Se i due archetti che le secanti formano con C misurano 2 centimetri (quello più vicino a P) e 4 centimetri, qual è la lunghezza del raggio di C?

3)Analisi
Sia f(x) = arctan[ x^2 - (sen x)^2 ] con x >0.
Stabilire il carattere della serie SUM X_n, sapendo che f(X_n)=1/n per n >= 1.

[Cecil_Hollorand]

Ciao a tutti!
1) Io lo risolverei così: chiamiamo A e B i due matematici; la probabilità che si incontrino è, per ogni possibile ora di arrivo di A, legata al fatto che B sia arrivato al massimo 10 minuti prima, cioè 1/6 di ora (è lui che sta aspettando) o dopo (è A che aspetta)...
Allora, siccome la distribuzione di probabilità è uniformente fra le 18 e le 19, la probabilità che A arrivi in un intorno di ampiezza \( \displaystyle {\left.{d}{t}\right.} \) centrato intorno a \( \displaystyle {t} \) (che rappresenta il tempo, espresso in ore, a partire dalle 18) è pari a \( \displaystyle {p}{\left({A}\in{I}{\left.{d}{t}\right.}{\left({t}\right)}\right)}=\frac{{\left.{d}{t}\right.}}{{1}}={\left.{d}{t}\right.} \) (se \( \displaystyle {\left.{d}{t}\right.} \) è espresso in ore). Poi la probabilità che \( \displaystyle {B} \) arrivi in un intorno di \( \displaystyle {t} \) ampio 20 minuti è \( \displaystyle {P}{\left({B}{A}\right)} \):
-Se \( \displaystyle {t}\in{\left[{0},\frac{{1}}{{6}}\right]} \) \( \displaystyle {p}{\left({B}\in{I}\frac{{2}}{{6}}{\left({t}\right)}\right)}=\frac{{\frac{{1}}{{6}}+{t}}}{{1}}=\frac{{1}}{{6}}+{t} \) (non vale 2/6, perchè prima delle 18 B non può arrivare per ipotesi)
-Se \( \displaystyle {t}\in{\left[\frac{{1}}{{6}},\frac{{5}}{{6}}\right]} \) \( \displaystyle {p}{\left({B}\in{I}\frac{{2}}{{6}}{\left({t}\right)}\right)}=\frac{{2}}{{6}} \)
-Se \( \displaystyle {t}\in{\left[\frac{{5}}{{6}},{1}\right]} \) \( \displaystyle {p}{\left({B}\in{I}\frac{{2}}{{6}}{\left({t}\right)}\right)}=\frac{{\frac{{1}}{{6}}+{\left({1}-{t}\right)}}}{{1}}=\frac{{7}}{{6}}-{t} \) (anche qui non vale 2/6, perchè dopo le 19 B non può arrivare per ipotesi)
Quindi, la probabilità che si incontrino è il prodotto delle due(probabilità condizionata), ovvero:
\( \displaystyle {d}{P}={P}{\left({B}{A}\right)}{\left.{d}{t}\right.} \)
Siccome A non è obbligato ad arrivare nell'intorno di \( \displaystyle {t} \) detto sopra, ma può presentarsi dalle 18 alle 19, integriamo quest'espressione (per casi):
$P=int_0^(1)P(B\A)dt=int_0^(1/6)(1/6+t)dt+int_(1/6)^(5/6)(2/6)dt+int_(5/6)^(1)(7/6-t)dt=11/36
Che ne pensate? Scusatemi per la mia soluzione un po' "rozza" nelle puntualizzazioni matematiche

[Piera]

Per me può andare!
Soluzione interessante e originale la tua!
Riporto anche la seguente soluzione:
i tempi di arrivo \( \displaystyle {x} \) e \( \displaystyle {y} \) dei due utenti sono variabili aleatorie uniformi e indipendenti sull’intervallo [0,1] (l’intervallo di un’ora fra le 18 e le 19), quindi le due variabili aleatorie hanno distribuzione (congiunta) uniforme sul quadrato di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Dieci minuti equivalgono ad \( \displaystyle \frac{{1}}{{6}} \) di ora, quindi i due si incontreranno se
|y-x|<=1/6
questo insieme individua sul quadrato un’area pari a \( \displaystyle \frac{{{11}}}{{{36}}} \) che è appunto la probabilità trovata da Cecil_Hollorand
visto che sei di Torino: forza Juve!!

[karl]

[Vedi figura]
Essendo M'NN' angolo esterno del triangolo PNM',si ha:
\( \displaystyle {x}={a}+\frac{{x}}{{2}}\to{x}={2}{a}={10}°=\frac{\pi}{{18}} \)
Pertanto:
raggio=arco(MN)/x=\( \displaystyle \frac{{2}}{{{\left(\frac{\pi}{{{18}}}\right)}}}=\frac{{36}}{{\pi}} \)=11,46 (cm).
Archimede

[Piera]

Archimede, che dire, sei un grande!!

[Cecil_Hollorand]

Grande Archimede
Per Piera: la tua soluzione è veramente più incisiva ed arguta della mia... ripensando a quanto hai detto, mi accorgo che io ho integrato per strisce il luogo di punti da te individuato!
Complimenti a tutti, io pago un pochino la mancanza di basi teoriche oltre ad un certo livello (analisi 1 e 2, statistica e geometria) del Poli... appena avrò tempo voglio approfondire le mie conoscenze. Voi fate da autodidatti?
P.S. Son del Milan Piera

[Piera]

Ah, sei milanista!!
Allora la tua soluzione non mi piace più!! (SCHERZO)
Quella che ho proposto non è la mia soluzione , ed effettivamente è piuttosto incisiva.
Io sono laureato in Scienze statistiche ed economiche non è che ne sappia un granchè di matematica...
comunque si, qualcosa (poco però) ho approfondito per conto mio.