Probabilità (si ancora.. ^^)

[nato_pigro]

ho x palline, facendo x estrazioni, con reimbussolamento, qual è la probabilità di estrarle tutte una volta?

io direi \( \displaystyle \frac{{{x}!}}{{{x}}^{{x}}} \)

è giusto?

[Tipper]

\( \displaystyle {1}\cdot{\frac{{{x}-{1}}}{{{x}}}}\cdot{\frac{{{x}-{2}}}{{{x}}}}\cdot\ldots\cdot{\frac{{{1}}}{{{x}}}}={\frac{{{x}!}}{{{{x}}^{{{x}}}}}} \), mi pare sia giusto...

[nato_pigro]

grazie.

Però se le estrazioi anzichè essere \( \displaystyle {x} \) fossero \( \displaystyle {x}+{1} \) o comunque più di \( \displaystyle {x} \), lo stesso ragionamento mi sembra che non funzioni più...

[Mega-X]

grazie.

Però se le estrazioi anzichè essere \( \displaystyle {x} \) fossero \( \displaystyle {x}+{1} \) o comunque più di \( \displaystyle {x} \), lo stesso ragionamento mi sembra che non funzioni più...

premettendo che non so REALMENTE nulla sulle probabilità (tranne quelle nozioni scolastiche sulla varianza, scarto quadratico medio, ecc. ecc.) secondo me il ragionamento va anche per quantità del tipo \( \displaystyle {x}+{a} \) infatti dovrebbe (dico dovrebbe perché in realtà non lo so) venire cosi:

\( \displaystyle {1}\cdot{\frac{{{x}+{a}-{1}}}{{{x}+{a}}}}\cdot{\frac{{{x}+{a}-{2}}}{{{x}+{a}}}}\cdot\ldots\cdot{\frac{{{1}}}{{{x}+{a}}}}={\frac{{{\left({x}+{a}\right)}!}}{{{{\left\lbrace{x}+{a}\right\rbrace}}^{{{x}+{a}}}}}} \)

[nato_pigro]

si, questo è ovvio, \( \displaystyle {x}+{a} \) posso chiamarla semplicemente \( \displaystyle {x} \)...

no, io chiedevo se solo le estrazioni aumentano, non anche il numero di palline...

[Tipper]

Scusa nato_pigro, ma se le estrazioni sono più delle palline, come faccio ad estrarre sempre palline diverse?!

[nato_pigro]

no: ci sono, mettiamo, 100 palline e faccio 100 estrazioni, qual è la probabiltà che vengano estratte tutte e 100 le palline?

la seconda situazione è: ci sono 100 palline, faccio 101 estrazioni, qual è la probabilità che, dopo 101 estrazioni, siano state estratte tutte le palline e una, quindi, due volte.

Intuitivamente, poi magari sbaglio, con 101 estrazioni la probabilità aumenta, essendoci la possibilità di estrarre una volta la stessa pallina.
mi sono spiegato?

[Tipper]

no: ci sono, mettiamo, 100 palline e faccio 100 estrazioni, qual è la probabiltà che vengano estratte tutte e 100 le palline?

la seconda situazione è: ci sono 100 palline, faccio 101 estrazioni, qual è la probabilità che, dopo 101 estrazioni, siano state estratte tutte le palline e una, quindi, due volte.

Intuitivamente, poi magari sbaglio, con 101 estrazioni la probabilità aumenta, essendoci la possibilità di estrarre una volta la stessa pallina.
mi sono spiegato?

Ah ho capito. Per il primo quesito è come hai detto tu all'inizio del post, cioè \( \displaystyle {\frac{{{100}!}}{{{{100}}^{{{100}}}}}} \). Se con 101 estrazioni, imponi che le prime 100 siano uguali, la probabilità non cambia, perché la 101-esima estrazione può essere qualsiasi pallina. Se invece la ripetizione di una stessa pallina può capitare in una qualsiasi delle \( \displaystyle {k} \) estrazioni (\( \displaystyle {0}\lt{k}\le{101} \)) allora la probabilità aumenta.

[nato_pigro]

esatto, volevo sapere qual è la nuova probabilità...

[Tipper]

I casi favorevoli sono:

ripetizioni nelle posizioni 1-2

ripetizioni nelle posizioni 1-3
.
.
.
ripetizioni nelle posizioni 1-101

ripetizioni nelle posizioni 2-3
.
.
.
e così via.

Per ogni caso la probabilità è \( \displaystyle {\frac{{{100}!}}{{{{100}}^{{{100}}}}}} \), il più è calcolare quanti sono i casi precedenti. Se sono \( \displaystyle {k} \) la probabilità vale \( \displaystyle {k}{\frac{{{100}!}}{{{{100}}^{{{100}}}}}} \). Ci penso un po', se arrivo a qualcosa posto.

EDIT: l'ho fatto di botto, dovrebbe venire \( \displaystyle {\frac{{{100}\cdot{101}}}{{{2}}}}{\frac{{{100}!}}{{{{100}}^{{{100}}}}}} \). Gradirei comunque una conferma o una smentita da qualcuno più esperto di me (non ci vuole molto ).