problema analisi numerica

[marygrazy]

utilizzando la formula composita del punto medio determinare quanti sottotintervalli m sono necessari per approssimare l'integrare

\( \displaystyle {\int_{{0}}^{\pi}}{\cos{{\left({x}\right)}}}{{e}}^{{{x}}}{\left.{d}{x}\right.} \)


con un errore minore di \( \displaystyle {{10}}^{{-{4}}} \).


la formula dell'errore del punro medio la so, ma non ho idea di come sfruttare il fatto degli m sottointervalli... potreste aiutarmi a giungere alla soluzione?

[Megan00b]

Imponi che l'espressione dell'errore sia inferiore a \( \displaystyle {{10}}^{{-{4}}} \). Ribalti la disuguaglianza e risolvi in m. Prima sarebbe utile studiare la derivata seconda che compare nella formula dell'errore e osservare che è limitata eccetera eccetera.
A.

[marygrazy]

dunqe la formula dell'errore è:


\( \displaystyle {E}={f{{''}}}{\left(\xi\right)}{{h}}^{{{2}}}\frac{{{b}-{a}}}{{24}} \)

la derivata seconda è: \( \displaystyle -{2}{{e}}^{{{x}}}{\sin{{\left({x}\right)}}} \)


e poi cs fare?

è utile questo ragionamento su questo link?

http://www1.mate.polimi.it/CN/CalNumELN ... atura.html

[Gi8]

\( \displaystyle {E}={f{{''}}}{\left(\xi\right)}{{h}}^{{{2}}}\frac{{{b}-{a}}}{{24}} \)

la derivata seconda è: \( \displaystyle -{2}{{e}}^{{{x}}}{\sin{{\left({x}\right)}}} \)

Dunque, sapendo che \( \displaystyle {0}\le\xi\le\pi \), si avrà che \( \displaystyle {\left|{f{{''}}}{\left(\xi\right)}\right|}\le\ldots \)

[marygrazy]

di pigreco?

[Gi8]

No. \( \displaystyle {\left|{f{{''}}}{\left(\xi\right)}\right|}\le{s}{u}{p}_{{{x}\in{\left[{0},\pi\right]}}}{\left|{f{{''}}}{\left({x}\right)}\right|}\Rightarrow{\left|{f{{''}}}{\left(\xi\right)}\right|}\le{s}{u}{p}_{{{x}\in{\left[{0},\pi\right]}}}{\left|-{2}{{e}}^{{x}}\cdot{\sin{{\left({x}\right)}}}\right|} \)

Quindi occorre fare uno studio della funzione \( \displaystyle {2}{{e}}^{{x}}\cdot{\sin{{\left({x}\right)}}} \) in \( \displaystyle {\left[{0},\pi\right]} \) per capirne l'estremo superiore

[marygrazy]

il punto di max è $ (0.8,1.5)

[Gi8]

A me non viene così. Mi viene che il punto di massimo è \( \displaystyle {x}=\frac{{3}}{{4}}\pi \), dunque
\( \displaystyle {s}{u}{p}_{{{x}\in{\left[{0},\pi\right]}}}{\left|-{2}{{e}}^{{x}}{\sin{{\left({x}\right)}}}\right|}=\sqrt{{2}}\cdot{{e}}^{{\frac{{3}}{{4}}\pi}}\sim{14.920977}\ldots \)

Quindi puoi dire che \( \displaystyle {\left|{f{{''}}}{\left(\xi\right)}\right|}\le{15} \)

[marygrazy]

scusa ma come fa ad essere \( \displaystyle {3}\frac{{\pi}}{{4}} \) a me viene \( \displaystyle \frac{{\pi}}{{4}} \) ...

e poi x è compreso tra \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle \pi \) il \( \displaystyle {3}\frac{{\pi}}{{4}} \) è gia fuori

[Paolo90]

e poi x è compreso tra \( \displaystyle {0} \) e \( \displaystyle \pi \) il \( \displaystyle {3}\frac{{\pi}}{{4}} \) è gia fuori

\( \displaystyle \frac{{3}}{{4}}\lt{1} \)