Problema analitica con massimi

[shintek20]

Formule di duplicazione del coseno:
\( \displaystyle {\cos{{\left({2}\theta\right)}}}={{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}-{s}{e}{{n}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}-{1}\to{2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1} \)

Mi dispiace,ma non riesco a capire 2 cose:

il triangolo \( \displaystyle {O}{H}{P} \) è rettangolo in \( \displaystyle {H} \)? perché?
E poi non capisco come da:\( \displaystyle {2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)} \) arrivi a \( \displaystyle {\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1} \).Sei partita dalla formula di duplicazione,ma io non vedo angoli doppi,potresti partire da qui:\( \displaystyle {2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)} \)?

[chiaraotta]

.....
Mi dispiace,ma non riesco a capire 2 cose:
il triangolo \( \displaystyle {A}{H}{P} \) è rettangolo in \( \displaystyle {H} \)? perché?
....

Non capisco io: qual è il triangolo \( \displaystyle {A}{H}{P} \)? Cosa indichi con \( \displaystyle {A} \)?

E poi non capisco come da:\( \displaystyle {2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)} \) arrivi a \( \displaystyle {\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1} \)

Ho cercato di spiegarlo:
se (formule di duplicazione del coseno)
\( \displaystyle {\cos{{\left({2}\theta\right)}}}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}-{1} \),
allora, se sposto \( \displaystyle -{1} \) a primo membro e leggo da destra a sinistra, ottengo
\( \displaystyle {2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1} \).

[shintek20]

Ah,mmmh...forse ho capito...
Comunque,scusa!Ho sbagliato,volevo dire \( \displaystyle {O}{H}{P} \) è rettangolo in \( \displaystyle {H} \)?E perché?

[shintek20]

Allora la funzione è
\( \displaystyle {S}{\left({x}\right)}={O}{H}+{P}{H}={r}{\left[{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1}+{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}\right]}={r}{\left[\sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)}+{1}\right]} \),
che ha un massimo per
\( \displaystyle {2}\theta+\frac{\pi}{{4}}=\frac{\pi}{{2}}\to\theta=\frac{\pi}{{8}} \).

Come fai a passare da:\( \displaystyle {r}{\left[{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1}+{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}\right]}={r}{\left[\sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)}+{1}\right]} \)?e per il massimo devo fare la derivata di questo è metterla \( \displaystyle \ge{0} \)?

[chiaraotta]

....
volevo dire \( \displaystyle {O}{H}{P} \) è rettangolo in \( \displaystyle {H} \)?E perché?...

Nel testo "detta H la proiezione di P sul diametro"

....
Come fai a passare da:\( \displaystyle {r}{\left[{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1}+{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}\right]}={r}{\left[\sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)}+{1}\right]} \)...

Con le formule di addizione del seno:
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)}=\sqrt{{{2}}}{\left[{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}{\cos{{\left(\frac{\pi}{{4}}\right)}}}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}{s}{e}{n}{\left(\frac{\pi}{{4}}\right)}\right]}= \)
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}{\left[{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\right]}=\sqrt{{{2}}}\cdot\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\cdot{\left[{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}\right]}= \)
\( \displaystyle {s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}} \).

....
e per il massimo devo fare la derivata di questo è metterla \( \displaystyle \ge{0} \)?...

Il massimo di \( \displaystyle {s}{e}{n}{\left(\alpha\right)} \) si ha quando \( \displaystyle \alpha=\frac{\pi}{{2}} \).

[shintek20]

Con le formule di addizione del seno:
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)}=\sqrt{{{2}}}{\left[{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}{\cos{{\left(\frac{\pi}{{4}}\right)}}}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}{s}{e}{n}{\left(\frac{\pi}{{4}}\right)}\right]}= \)
\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}{\left[{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\right]}=\sqrt{{{2}}}\cdot\frac{\sqrt{{{2}}}}{{2}}\cdot{\left[{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}\right]}= \)
\( \displaystyle {s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}+{\cos{{\left({2}\theta\right)}}} \).

Mi dispiace,ma non riesco a capirti:
Non c'è un altro modo per farlo?Da dove te lo esci:\( \displaystyle \sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)} \)?Perché parti ''all'incontrario''?
Se mi potessi suggerire un altro metodo,mi faresti un grande favore...questo non arrivo a capirlo...