Problema analitica con massimi

[shintek20]

Data la circonferenza: \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}-{2}{y}={0} \),considerare la semicirconferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) posta nel semipiano \( \displaystyle {x}\le{y} \)
Determinare l'equazione della retta r passante per O che incontri \( \displaystyle {C}_{{1}} \) in P in modo che,detta H la proiezione di P sul diametro di \( \displaystyle {C}_{{1}} \),risulti massima la somma:
\( \displaystyle {S}={O}{H}+{P}{H} \)

Per favore,potreste dirmi innanzitutto cosa vuol dire,sia graficamente,sia matematicamente:
considerare la semicirconferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) posta nel semipiano \( \displaystyle {x}\le{y} \)?
Come faccio?
Grazie...

[gio73]

Per favore,potreste dirmi innanzitutto cosa vuol dire,sia graficamente,sia matematicamente:
considerare la semicirconferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) posta nel semipiano \( \displaystyle {x}\le{y} \)?
Come faccio?
Grazie...

Da come la capisco io il semipiano che cerchi è quello in cui i punti hanno ascissa minore o uguale all'ordinata, dovendolo disegnare farei il piano cartesiano e traccerei la bisettrice di I e III quadrante (la sua equazione non è y=x?), i punti che si trovano "sotto", soddisfano la condizione assegnata? allora quello è il semipiano che cerchi!
Poi disegnerei la circonferenza... una parte si trova nel semipiano considerato e una parte no?

[shintek20]

Sotto o sopra la bisettrice?Dal disegno ho visto che dovrebbe essere sopra,ma tu mi dici sotto...
Cioè la semicirconferenza che sta tra il 1 e il 2 quadrante e che ha il diametro che è la bisettrice stessa?

[gio73]

il disegno non l'ho fatto, ma tu si, la circonferenza passa per l'origine e ha il centro nel punto (1,1)?
Ora la bisettrice del I quadrante divide la circonferenza in due parti, quale di queste ha \( \displaystyle {x}\le{y} \)?

[shintek20]

Si,passa per l'origine è il centro è quello.
Io direi quella che va dal primo al secondo quadrante...

[gio73]

Concordo, ho fatto il disegno e mi sono accorta di essere stata affrettata nella prima risposta a dire "sotto", scusami!

[shintek20]

Tranquilla! ....invece come potrei continuare col passaggio successivo?

[chiaraotta]

Data la circonferenza: \( \displaystyle {{x}}^{{2}}+{{y}}^{{2}}-{2}{x}-{2}{y}={0} \),considerare la semicirconferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) posta nel semipiano \( \displaystyle {x}\le{y} \)
Determinare l'equazione della retta r passante per O che incontri \( \displaystyle {C}_{{1}} \) in P in modo che,detta H la proiezione di P sul diametro di \( \displaystyle {C}_{{1}} \),risulti massima la somma:
\( \displaystyle {S}={O}{H}+{P}{H} \)

Per favore,potreste dirmi innanzitutto cosa vuol dire,sia graficamente,sia matematicamente:
considerare la semicirconferenza \( \displaystyle {C}_{{1}} \) posta nel semipiano \( \displaystyle {x}\le{y} \)?
Come faccio?
Grazie...

Se indichi con \( \displaystyle \theta \) l'angolo \( \displaystyle {H}{\hat{{O}}}{P} \), allora
\( \displaystyle {O}{P}={2}{r}{\cos{{\left(\theta\right)}}} \),
per cui
\( \displaystyle {O}{H}={O}{P}{\cos{{\left(\theta\right)}}}={2}{r}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={r}{\left[{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1}\right]} \)
e
\( \displaystyle {P}{H}={O}{P}{s}{e}{n}{\left(\theta\right)}={2}{r}{s}{e}{n}{\left(\theta\right)}{\cos{{\left(\theta\right)}}}={r}{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)} \),
con \( \displaystyle {0}\le\theta\le\frac{\pi}{{2}} \) e \( \displaystyle {r}=\sqrt{{{2}}} \).
Allora la funzione è
\( \displaystyle {S}{\left({x}\right)}={O}{H}+{P}{H}={r}{\left[{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1}+{s}{e}{n}{\left({2}\theta\right)}\right]}={r}{\left[\sqrt{{{2}}}{s}{e}{n}{\left({2}\theta+\frac{\pi}{{4}}\right)}+{1}\right]} \),
che ha un massimo per
\( \displaystyle {2}\theta+\frac{\pi}{{4}}=\frac{\pi}{{2}}\to\theta=\frac{\pi}{{8}} \).

La retta \( \displaystyle {O}{P} \) è del tipo \( \displaystyle {y}={m}{x} \), dove \( \displaystyle {m}={\tan{{\left(\frac{\pi}{{4}}+\frac{\pi}{{8}}\right)}}}={\tan{{\left(\frac{{{3}\pi}}{{8}}\right)}}}=\sqrt{{{2}}}+{1} \).

[shintek20]

Se indichi con \( \displaystyle \theta \) l'angolo \( \displaystyle {H}{\hat{{O}}}{P} \), allora
\( \displaystyle {O}{P}={2}{r}{\cos{{\left(\theta\right)}}} \),
per cui
\( \displaystyle {O}{H}={O}{P}{\cos{{\left(\theta\right)}}}={2}{r}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={r}{\left[{\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1}\right]} \)

Scusa,Non ho capito cosa hai fatto in quest'ultimo passaggio per \( \displaystyle {O}{H} \)

[chiaraotta]

Formule di duplicazione del coseno:
\( \displaystyle {\cos{{\left({2}\theta\right)}}}={{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}-{s}{e}{{n}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}-{1}\to{2}{{\cos}}^{{2}}{\left(\theta\right)}={\cos{{\left({2}\theta\right)}}}+{1} \)