Problema con le applicazioni dall'insieme vuoto

[s31z2]

Sono una new entry del sito e perciò mi scuso per errori di sintassi. Il mio problema è sorto leggendo algebra e matematica discreta di Alberto Facchini:
Un'applicazione f: O/ -> A con A != O/ manda l'inisme vuoto nell'insieme vuoto?oppure è possibile che f(O/)={b}?

[Lord K]

Ciao e bentrovato, ti invito a leggere come inserire le formule qui e detto questo passiamo all'esercizio.

Cosa non ti batte nella assegnazione? Per quale ragione non si potrebbe fare \( \displaystyle f:\emptyset \to A \) tale che \( \displaystyle f(\emptyset):=\{a\} \) ?

Se ti ricordi la definizione della funzione sono un insieme di partenza detto dominio (in questo caso \( \displaystyle \emptyset \) è un insieme, un insieme di arrivo detto codominio e una legge che associa elementi del primo insieme con elementi del secondo insieme, pensaci un poco e probabilmente ti risponderai da solo

[Martino]

L'unica possibile funzione \( \displaystyle f:\emptyset \to A \) è l'insieme vuoto. Infatti prima di tutto una tale funzione dev'essere un sottoinsieme di \( \displaystyle \emptyset \times A = \emptyset \) , e poi uno verifica che \( \displaystyle \emptyset \) è effettivamente una funzione \( \displaystyle \emptyset \to A \) .

Invece non esistono funzioni \( \displaystyle A \to \emptyset \) se \( \displaystyle A \neq \emptyset \) .

[Lord K]

Forse meritava che la stessa tua considerazione nascesse nella sua mente!

[Martino]

Lord K: anch'io la penso come te, ma avevo paura che venisse confuso da questa tua domanda/affermazione:

Per quale ragione non si potrebbe fare \( \displaystyle f:\emptyset \to A \) tale che \( \displaystyle f(\emptyset):=\{a\} \) ?

che sembrerebbe affermare che una funzione definita sull'insieme vuoto possa avere un'immagine non vuota (sempre che \( \displaystyle f(\emptyset) \) voglia dire "l'immagine di \( \displaystyle f \) ").

[Angelo]

Perché $f : \emptyset \to A$ è una funzione? Quando si dà la definizione di funzione non è forse richiesto che entrambi gli insiemi (di partenza e di arrivo) siano non vuoti?

Sono d'accordo che ogni funzione è una particolare relazione fra insiemi e quindi un sottoinsieme del prodotto cartesiano, però mi pare che per le funzioni sia esplicitamente richiesto che i due insiemi siano non vuoti. Mi sbaglio?

[Martino]

Perché $f : \emptyset \to A$ è una funzione?

Dati due insiemi A e B, una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A xx B$ tale che:

1) per ogni $a in A$ esiste $b in B$ tale che $(a,b) in f$;

2) se $(a,b) in f$ e $(a,c) in f$ allora $b=c$.

In particolare, da (1) segue che se $B$ è vuoto, allora $A$ dev'essere vuoto.

Se $A$ è vuoto allora poiché $A xx B=emptyset$, $f$ deve essere l'insieme vuoto, e non abbiamo problemi perché (1) e (2) sono soddisfatte (indipendentemente da $B$).

[Angelo]

Sono d'accordo che una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxxB$, e sono d'accordo con la definizione di funzione che hai appena dato, tuttavia a me pare che nel caso di una funzione si richieda esplicitamente che entrambi gli insiemi $A$ e $B$ non siano vuoti.

In altre parole, mi sembra che la definizione di funzione sia la seguente:

Dati due insiemi A e B non vuoti, una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxxB$ tale che:

1) per ogni $a in A$ esiste $b in B$ tale che $(a,b) in f$;

2) se $(a,b) in f$ e $(a,c) in f$ allora $b=c$ .

Se mi sbaglio, accetto correzioni.

[Martino]

Direi che ognuno può avere la sua definizione di funzione. Io ho sempre permesso a dominio e/o codominio di essere vuoti. Questo torna comodo in alcuni frangenti, per esempio uno definisce il prodotto cartesiano della famiglia di insiemi \( \displaystyle (A_i)_{i \in I} \) come

\( \displaystyle \prod_{i \in I} A_i := \{f:I \to \bigcup_{i \in I} A_i\ |\ f(i) \in A_i\ \forall i \in I\} \) .

E' utile pensare a un elemento \( \displaystyle f \) di tale prodotto come alla \( \displaystyle I \) -upla \( \displaystyle (f(i))_{i \in I} \) . E torna utile osservare che con questa definizione si ha \( \displaystyle \prod_{i \in \emptyset} A_i = \{\emptyset\} \) (che è anche un'uguaglianza curiosa). Non c'è ragione di escludere che esista il prodotto indiciato sul vuoto (per lo stesso motivo non c'è ragione di escludere che si possa elevare un numero alla zero).

Questo per ragioni di "compatibilità": in teoria delle categorie la categoria degli insiemi ammette tipicamente il vuoto come oggetto iniziale (cfr. qui), e questo naturalmente perché si permette al dominio di essere vuoto. Questa "permissione", per fare un altro esempio, serve anche per interpretare oggetti iniziali come limiti proiettivi sul vuoto e oggetti terminali come limiti induttivi sul vuoto.

Inoltre denotato con \( \displaystyle B^A \) l'insieme delle funzioni \( \displaystyle A \to B \) , l'uguaglianza \( \displaystyle |B^A|=|B|^{|A|} \) rimane vera se uno tra A e B è vuoto, essendo \( \displaystyle |\emptyset^A|=0 \) se \( \displaystyle A \neq \emptyset \) (cioè, non ci sono funzioni \( \displaystyle A \to \emptyset \) se A è non vuoto) e \( \displaystyle |B^{\emptyset}|=1 \) (cioè, c'è un'unica funzione \( \displaystyle \emptyset \to B \) ). Secondo questa logica l'unica uguaglianza scomoda è \( \displaystyle 0^0=1 \) , ma finché assumere questo non è contraddittorio, possiamo farlo (limitatamente all'algebra, per evitare di scandalizzarsi ).

[Angelo]

Ti ringrazio, sei stato chiarissimo.

Mi hai fatto ricordare certe discordanze di idee presenti anche tra matematici circa l'opportunità di dare significato o meno alla scrittura $0^0$. Io ho incontrato nella mia vita varie persone che difendevano l'uguaglianza $0^0=1$ a spada tratta, io invece credo che $0^0$ sia un'espressione alla quale non si debba attribuire un risultato, così come non si da un risultato a $0/0$.
Li considero entrambe due forme indeterminate.

Cosa pensi al riguardo?