Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda Alpot » 06/12/2011, 16:25

Salve a tutti. Mi stavo allenando con i limiti ma mi sono bloccato a questi due limiti tendenti a infinito:
$(1-5/4x)^(8x)$
$(1-4/5x)^(10x)$

Ho capito che si devono ricondurre al limite notevole x tendente a infinito di $(1+1/x)^x$ ma sinceramente non so che fare a quei 4/5x e 5/4x...
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Re: Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda @melia » 06/12/2011, 17:30

Suppongo che il problema sorga con $lim_(x->oo) (1-5/(4x))^(8x)$ perché dal testo che hai scritto non si capisce.
In questo caso poni $-5/(4x)=1/y$, da questo ricavi x e ottieni $x=-4/5 y$ poi guardi a cosa tendono e per $x->oo$ anche $y->oo$, sostituisci nel limite
$lim_(y->oo) (1+1/y)^(-32/5 y) =lim_(y->oo) ((1+1/y)^y)^(-32/5 ) = e^(-32/5 )$

L'altro esercizio si risolve allo stesso identico modo
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Re: Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda scrittore » 10/12/2011, 17:42

scusa @melia ma il tuo esercizio non mi sembra corretto e magari neanche tutti i passaggi del mio sono corretti, però ho provato a farlo e Derive mi conferma che viene $e^(-10)$

Ecco come ho proceduto:
$(1 - 5/(4x))^(8x)$ = $(1 + 1/(-4/5x))^(8x)$ = $(1 + 1/(-4/5x))^(-4/5*-10x)$ = $((1 + 1/(-4/5x))^(-4/5x))^-10$

A questo punto vedendo che il coefficiente della x al denominatore è lo stesso della x esponente posso dedurre che il limite è: $e^(-10)$ ma volendo fare i calcoli per bene fino alla fine io farei:

sostituisco: $y=-4/5x$ e quindi $lim_(y->-infty)$ perchè se sostituisco infinito ad x ottengo $-infty$

$lim_(y->-infty)((1 + 1/y)^y)^-10$

A questo punto però non ho più il limite notevole perchè $y->-infty$ e non riesco più a chiudere l'esercizio...

@melia, quando tu sostituisci sbagli perchè dovrebbe essere $x=-5/4y$ e quindi l'esponente diventa -10 come nel mio.
E poi per me dovrebbe essere $y->-infty$

Riusciamo a concludere?
Grazie :)
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Re: Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda @melia » 11/12/2011, 09:44

Che io abbia sbagliato l'inversione è pacifico, tuttavia il limte notevole vale a $oo$ cioè sia a $+oo$ che a $-oo$, non vedo il tuo problema sulla non chiusura, si chiude benissimo. Non fare l'errore di confondere $oo$ che equivale a $+-oo$ con $+oo$
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Re: Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda retrocomputer » 11/12/2011, 11:59

@melia ha scritto:Non fare l'errore di confondere $oo$ che equivale a $+-oo$ con $+oo$


Acc! Ma questo errore lo commetto sempre anch'io! :roll: Cioè, per me $\infty$ è sempre stato uguale a $+\infty$... Mi rispieghi un po' questa faccenda? :-k
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Re: Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda scrittore » 11/12/2011, 12:19

Grazie @melia, il tuo post mi ha aperto una nuova visione sui limiti :P

Certo che
Non fare l'errore di confondere $infty$ che equivale a $+-infty$ con $+infty$

io non ricordo di averlo mai trovato scritto su un libro, anche se ammetto che a volte ho trovato scritto $x->infty$ e altre volte $x->+infty$ quando magari è necessario esplicitare il segno $+$

Grazie ancora :)
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Re: Problema con limiti tendenti a infinito

Messaggioda @melia » 11/12/2011, 13:29

Per completare la retta reale con l'infinito si possono scegliere due vie, una è quella di aggiungere 2 punti, il più piccolo di tutti lo chiami $-oo$ il più grande lo chiami $+oo$.

Oppure puoi scegliere la strada di mettere un punto solo, appunto $oo$ in questo modo perdi l'ordinamento perché il numero più piccolo coincide con il più grande, per cui di solito si preferisce completare la retta reale con i due infiniti separatamente.

Tuttavia se scegli la prima strada il limite $lim_(x->0) 1/x$ non ammette soluzione e devi per forza separare i due limiti $lim_(x->0^-) 1/x$ e $lim_(x->0^+) 1/x$ per ottenere delle soluzioni, mentre scegliendo di usare un solo infinito $lim_(x->0) 1/x$ ammette soluzione, appunto $lim_(x->0) 1/x = oo$
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