Problema con un polinomio

[carlo23]

P(x) = x

significa che il polinomio

x

(che poi e' un monomio) si chiama P,

la frase

P(x)=x ammette soluzioni

(a prescindere dal loro numero!) e' priva di significato!

Forse mi sono spiegato male, se \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x} \) allora \( \displaystyle {P}{\left({{x}}^{{5}}+{1}\right)}={{x}}^{{5}}+{1} \) da cui sostituendo \( \displaystyle {y}={{x}}^{{5}}+{1} \) abbiamo \( \displaystyle {P}{\left({y}\right)}={y} \).
Essendo che per ipotesi \( \displaystyle {P}{\left({0}\right)}={0} \) abbiamo per quanto detto sopra che \( \displaystyle {P}{\left({1}\right)}={1} \) e poi \( \displaystyle {P}{\left({2}\right)}={2} \) e anche \( \displaystyle {P}{\left({33}\right)}={33} \)...
Quindi \( \displaystyle {P}{\left({a}_{{n}}\right)}={a}_{{n}} \) dove gli \( \displaystyle {a} \) sono definiti come

\( \displaystyle {a}_{{0}}={0} \)

\( \displaystyle {a}_{{n}}={{a}_{{{n}-{1}}}^{{5}}}+{1} \)

allora capita per infinite \( \displaystyle {x} \) che \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x} \).Spero di essermi spiegato meglio...

Ciao!

[Giusepperoma]

ora ho capito cosa intendi, ma non mi sembra che questo concluda la tua dimostrazione

P(x)=x

significa

P(a) = a; P(12345) = 12345;

ma questo e' implicitop nella definizione... senza bisogno di passare per P(x^5+1), no?

[carlo23]

ora ho capito cosa intendi, ma non mi sembra che questo concluda la tua dimostrazione

P(x)=x

significa

P(a) = a; P(12345) = 12345;

ma questo e' implicitop nella definizione... senza bisogno di passare per P(x^5+1), no?

Dicevo che capita per infinite \( \displaystyle {x} \) che \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x} \) quindi il polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}-{x} \) che per ipotesi non è costante si annulla infinite volte, ma ciò è impossibile per ogni polinomio non costante.

[Giusepperoma]

no, Carlo, non ci siamo...

P(x) = x capita per ogni x, non solo per infinite...

P(x) - x e' il polinomio nullo perr definizione...

[carlo23]

no, Carlo, non ci siamo...

P(x) = x capita per ogni x, non solo per infinite...

P(x) - x e' il polinomio nullo perr definizione...

Non ti seguo proprio,

P(x) = x capita per ogni x

nelle ipotesi non c'è... chi lo ha detto?

[Giusepperoma]

ora sono io ad essere confuso...

ma non l'hai detto tu?

hai iniziato dicendo "se P(x)=x..."

[carlo23]

:D

ora sono io ad essere confuso...

ma non l'hai detto tu?

hai iniziato dicendo "se P(x)=x..."

Si mi sono espresso male, nelle ipotesi intendevo che \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) non è identicamente uguale a polinomio \( \displaystyle {x} \), nel senso che scritto \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)} \) in forma estesa

\( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={a}_{{0}}+{a}_{{1}}{x}+{a}_{{2}}{{x}}^{{2}}+\ldots+{a}_{{m}}{{x}}^{{m}} \)

dove \( \displaystyle {m} \) è il grado di \( \displaystyle {P} \). Allora non si ha \( \displaystyle {a}_{{0}}={0},{a}_{{1}}={1}{a}_{{2}}={0},{a}_{{3}}={0},{a}_{{4}}={0}\ldots{a}_{{m}}={0} \).

Nella dimostrazione dicevo se esiste \( \displaystyle {x} \) tale che \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x} \)... e ciò e possibile anzi è certo a causa della condizione iniziale \( \displaystyle {P}{\left({0}\right)}={0} \) .

Ad esempio il polinomio \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{x} \) non è identicamente uguale a \( \displaystyle {x} \), ma per \( \displaystyle {x}={2} \) si ha \( \displaystyle {{x}}^{{2}}-{x}={x} \).

[Giusepperoma]

ok... finalmente ci si riesce a capire...

[carlo23]

ok... finalmente ci si riesce a capire...

Già, meno male... a volte uno si dimentica di precisare alcune cose che invece spesso sono importanti!

Ciao!