Problema con un polinomio

[carlo23]

Dimostrare che non esiste nessun polinomio non costante \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}\ne{x} \) tale che

\( \displaystyle {P}{\left({0}\right)}={0} \)

\( \displaystyle {P}{\left({{x}}^{{5}}+{1}\right)}={{P}}^{{5}}{\left({x}\right)}+{1} \)

Ciao!

[Giusepperoma]

polinomio a coefficienti in...?

R? Q? Z? N?

[Giusepperoma]

se fosse a coeff in N e' facile dimostrare che gli unici due polinomi possibili sarebbero

P(x)=0

e

P(x)=x

che tu hai escluso...

altrimenti devo pensarci ancora su...

[carlo23]

polinomio a coefficienti in...?

R? Q? Z? N?

in R

[Giusepperoma]

ok, proprio come sospettavo...

[Giusepperoma]

domanda...

ma tu conosci la soluziione o e' una domanda che ti sei posto?

[carlo23]

domanda...

ma tu conosci la soluziione o e' una domanda che ti sei posto?

La conosco, è per assurdo

[eafkuor]

carlo ma da dove li tiri fuori tutti questi teoremi? (curiosità, non domanda provocatoria)
cioè te li inventi o li trovi su internet?

[carlo23]

carlo ma da dove li tiri fuori tutti questi teoremi? (curiosità, non domanda provocatoria)
cioè te li inventi o li trovi su internet?

Questo lo trovato sul sito delle olimpiadi della matematica però invece di 5 c'era 3, l'ho generalizzato.
Faccio che dire la mia soluzione,è immediato dimostrare che se \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x} \) allora \( \displaystyle {P}{\left({{x}}^{{5}}+{1}\right)}={{x}}^{{5}}+{1} \), quindi l'equazione \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}={x} \) ha infinite soluzioni. Consideriamo il polinomio \( \displaystyle {P}{\left({x}\right)}-{x} \) per ipotesi abbiamo che non è costante e per quanto detto sopra ha infiniti zeri, ma ciò è impossibile per un polinomio non costante, infatti negerebbe il teorema fondamentale dell'algebra.

Ciao!

[Giusepperoma]

P(x) = x

significa che il polinomio

x

(che poi e' un monomio) si chiama P,

la frase

P(x)=x ammette soluzioni

(a prescindere dal loro numero!) e' priva di significato!