Problema con una sommatoria

[Sagittarioromano]

Salve a tutti non mi ritrovo con un passaggio in una sommatoria
l'esercizio è il seguente io so che \(\displaystyle \sum(2n+2k−1)=3n^2 \)con k da 1 a n

Devo dimostrare che
\(\displaystyle \sum(2n+2+2k−1) \) (con k da 1 a n+1) = 3(n+1)^2

\(\displaystyle \sum(2n+2k−1+2) +(4n+3)\) (con k da 1 a n da ora in poi) =\(\displaystyle \sum (2n+2k−1)+\sum2+(4n+3) \)=\(\displaystyle 3n^2+\sum2+(4n+3) \)
prendendo in considerazione il pezzo \(\displaystyle \sum2 \) se lo faccio diventare = 2(n) non viene l'esercizio mentre se lo pongo uguale a 2(n+1) viene. Ma perchè devo porlo uguale a 2(n+1) se ormai la sommatoria è da 1 a n?

[xXStephXx]

Se lo poni uguale a 2n viene.

[giannirecanati]

La tua ipotesi è che \(\displaystyle \sum_{k=1}^n(2n+2k−1)=3n^2 \).

Devi dimostrare che \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}(2n+2+2k−1)=3(n+1)^2 \)

Allora, la cosa che io farei è spezzare la somma : \(\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n+1}n +2 \sum_{k=1}^{n+1}k+ \sum_{k=1}^{n+1}1+=2\cdot n(n+1) +(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)(3n+3)=3(n+1)^2\).

Ma devi farlo con l'induzione?

[Sagittarioromano]

Si con l'induzione ma xXStephXx aveva ragione sbagliavo un calcolo scusate tutti