Problema dall'Halliday, forza variabile e integrazione.

[Steven]

Ciao a tutti.
Vorrei un parere su questo problema, che inizialmente pensavo si dovesse risolvere integrando.
Premetto che sto iniziando ora ad applicare l'integrazione in problemi di fisica, e ancora non ho praticità.

Un oggetto di massa \( \displaystyle {m}={0},{675}{k}{g} \) è in moto circolare uniforme su un tavolo senza attrito, attaccato a un filo fissato sul tavolo al centro della circonferenza. Calcolare la tensione del filo se \( \displaystyle {v}={10}\frac{{m}}{{s}} \) e \( \displaystyle {r}_{{0}}={0},{5}{m} \) (fin qui è ai limiti del banale).
Poi continua:
accorciando il filo di \( \displaystyle {d}={0},{2}{m} \) mentre \( \displaystyle {m} \) è in moto, si osserva che la tensione aumenta di un fattore \( \displaystyle {4},{63} \).
Calcola il lavoro del filo sull'oggetto durante l'accorciamento.

Ora, facendo delle considerazioni sull'energia cinetica finale e iniziale, ho trovato un valore pulito pultio del lavoro: \( \displaystyle {60}{J} \) secchi.
Ora, volendolo procedere invece con un'integrazione, correggetemi se e dove sbaglio.
Impulsivamente ho pensato di dover integrare la tensione da \( \displaystyle {r}_{{0}}-{d} \) a \( \displaystyle {r}_{{0}} \) (o il viceversa)
\( \displaystyle {\int_{{{r}_{{0}}}}^{{{r}_{{0}}-{d}}}}{m}\frac{{{v}}^{{2}}}{{r}}\quad{d}{r} \)
però la velocità non è costante, quindi la dovrei ricavare in funzione di \( \displaystyle {r} \).
Purtroppo adesso non mi viene in mente il modo.
Tra l'altro non so nemmeno se è lecito usare il dato del fattore dell'aumento della tensione, perché mi dice solo qualcosa sullo stadio finale, e non su quello che capita in mezzo.

Se avete suggerimenti, mi fareste un piacere.
Buon pomeriggio.

[adaBTTLS]

son sono "specialista" dell'argomento, ma secondo me i dati non permettono di esprimere v in funzione di r istante per istante. il testo sembra anzi indirizzare a ricavare la velocità finale e quindi trovare abbastanza banalmente il lavoro.
a questo punto, invece, mi sorgerebbe spontanea una domanda: ragionando a "ritroso", supponendo "regolare" la variazione di r, e conoscendo il risultato dell'integrale definito, è possibile ricavare v istante per istante (magari con il teorema fondamentale del calcolo)? ciao.

[Cmax]

Il tuo procedimento è più che lecito. Poichè la forza è applicata lungo il filo ha momento nullo e quindi il momento angolare si conserva. Tra l'altro applicando questo principio il fattore di aumento della tensione è ridondante, in quanto lo puoi calcolare dai dati del problema. Se calcoli l'integrale ponendo \( \displaystyle {v}={v}_{{0}}{\frac{{{r}_{{0}}}}{{{r}}}} \) ottieni sempre 60 J.

[Steven]

Si, il risultato esce bene anche dall'integrale.
Ti ringrazio molto, almeno ho ripassato anche il momento angolare.
Al dato ridondante non ci avevo fatto caso, sarà che non me lo aspettavo dall'Halliday

Grazie anche a adaBTTLS,
ciao a tutti.