Problema di Cauchy e metodi numerici

[holly_golightly]

Buon giorno!

Non mi è chiara la differenza tra metodi one-step espliciti (Eulero e metodi di Runghe-Kutta) e multistep lineari.
Quando posso usare i metodi one-step espliciti? Ad esempio propongo questo esercizio:

E' assegnato il seguente problema di Cauchy:

\( \displaystyle {\left\lbrace\matrix{{y}'+{{y}}^{{2}}+{3}{y}={2}+{t}\\{y}{\left({1}\right)}=-{2}}\right.} \) con \( \displaystyle {t}\in{\left({0},{T}\right)} \)

Usare il metodo numerico:

yn+1 = yn + h/2 (f(tn, yn) + f(tn + h, yn + h x f(tn, yn )))

con passo h = 0,2 per determinare l'approssimazione della soluzione in t = 1,4.

Io applicherei il metodo di Eulero in quanto l'equazione di yn+1 ricorda molto quella di Eulero esplicito. E' giusto il mio ragionamento?

Grazie!

[70322]

Se non sbaglio quello che tu hai indicato è il metodo di Heun, un particolare tipo di metodo di Runge-Kutta del secondo ordine ad un passo (non è un metodo multistep!!) esplicito che consiste sostanzialmente nell'esplicitazione, tramite il metodo di Eulero-esplicito, del metodo di Cranck-Nickolson.
Vorrei farti notare che i metodi di Runge-Kutta e i multistep sono due vie per ottenere metodi di ordine elevato.
La differenza sostanziale è che i metodi multistep, come dice il termine, sono a più passi (poi possono essere espliciti (Adams-Bushworth) o impliciti (Adams-Moulton)), mentre i Runge-Kutta sono tutti metodi ad un passo espliciti.

[holly_golightly]

Ti ringrazio molto per il chiarimento! In metodo di Heun è anche detto metodo di Eulero modificato?

Grazie ancora per l'aiuto!

[70322]

Esattamente, viene spesso indicato come metodo di Eulero modificato o metodo di Eulero migliorato (il nome stesso fa del resto intuire qual'è lo "spirito" di questo metodo!). Ciao, buona giornata!