problema di equazione lineare e tre punti

[mattero82]

Buongiorno scusate l'ignoranza ma non sono sicuro se questo sia il sottoforum adatto al problema specifico.
Ho il seguente problema da risolvere:

ho tre punti di coordinate P1=(-1,0) P2=(0,1) e P3=(1,0)
l'obiettivo è individuare quella funzionare lineare di tipo y=ax+b
che minimizza le distanze verticali tra la funzione stessa ed i tre punti.

Sinceramente non saprei dove iniziare, capisco che l'obiettivo è trovare i valori di a e di b ma non ho idea di come arrivarci.
Come si chiamano questi tipi di problemi?
Potete consigliarmi dei testi dove posso trovare essercizi simili svolti per capire come si risolvono?
Potreste aiutarmi a capire come posso risolvere questo problema?

vi ringrazio in anticipo.
cordiali saluti.
m.

[*v.tondi]

Il tuo problema si risolve con il metodo dei minimi quadrati, questo è un link dove trovi anche la soluzione per il caso \( \displaystyle {y}={m}\cdot{x}+{q} \)
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_minimi_quadrati
Ciao

[mattero82]

grazie v.tondi per il suggerimento, ho provato a svolgere il rpoblema ma non sono sicuro dei risultati:

i quadrati dei residuo sarà uguale a : \( \displaystyle {S}={{\left(-{a}+{b}-{0}\right)}}^{{2}}+{{\left({0}+{0}-{1}\right)}}^{{2}}+{{\left({a}+{b}+{0}\right)}}^{{2}}={2}{{a}}^{{2}}+{2}{{b}}^{{2}}+{1} \)

per trovare a e b devo minimizzare S rispetto ad a e poi rispetto a b e porre le derivate uguale a 0:

dS/da= 4a=0 e dS/db=4b=0 da cui deduco che a=0 e b=0 e quindi la funzione lineare che minimizza la distanza dai 3 punti è y=0

possibile?Dove ho commesso l'errore?

[*v.tondi]

L'obiettivo è quello di calcolare i valori di \( \displaystyle {a} \) e \( \displaystyle {b} \), su wikipedia sono rispettivamente \( \displaystyle {m} \) e \( \displaystyle {q} \). Ti crei una tabella con diverse colonne:
1) ascisse dei punti \( \displaystyle {x} \)
2) ordinate dei punti \( \displaystyle {y} \)
3) prodotto ascisse ordinate \( \displaystyle {x}\cdot{y} \)
4) ascisse elevate al quadrato \( \displaystyle {{x}}^{{2}} \)
N indica ilnumero dei valori che hai a disposizione dal problema nel tuo caso \( \displaystyle {3} \)
Successivamente ti calcoli le somme di tutti questi valori e poi applichi le relative formule da wikipedia: Sono delle formule abbstanza semplici da ricavare, in particolare derivano da un sistema di annullamento delle derivate parziali prime.
Fammi sapere.

[mattero82]

grazie v.tondi, ho trovato l'errore.... \( \displaystyle {S}={2}{{a}}^{{2}}+{3}{{b}}^{{2}}-{2}{b}+{1} \) da cui la funzione finale è y=0,3 che ha molto piu senso rispetto a prima.

Nel caso in cui anzicchè minimizzare la somma dei quadrati dei residui e quindi usare il metodo dei minimi quadrati volessi usare un metodo di
minimizzazione diverso, ad esempio presi i 3 punti trovare la funzione di tipo \( \displaystyle {y}={a}{{x}}^{{2}}+{b}{x}+{c} \)
che anzicchè minimizzare una sommatoria minimizza un'integrale.
In tal caso come cambia il problema... come posso risolverlo?

[*v.tondi]

Leggiti questo file:
http://www.calogeromartorana.it/DOWNLOA ... ERPOL4.pdf (caso della parabola). Purtroppo non posso spiegarti come si arriva al sistema delle tre equazioni in quanto perderei tanto tempo, comunque l'obiettivo iniziale è l'annullamento delle derivate parziali prime.