problema di geometria, aiuto!

Messaggioda FireWoman » 23/09/2008, 15:05

Sia fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz u:

Siano date le rette sghembe r e s ed un piano pgreca di equazioni rispettivamente

r : x = 3
y = 2z

s : x + 1 = 0
z - 2y = 0

pgreca : 2x - y + z + 4 = 0

Determinare
a) l'equazione del piano alfa contenente la retta r e parallelo alla retta s
b) l'equazione del piano beta passante per i punti A = r intersezione pgreca, B = s intersezione pgreca e ortogonale a pgreca

Grazie in anticipo.
ps. se ho bisogno di altro posso chiedere??? Domani ho esame!!!
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Messaggioda dissonance » 23/09/2008, 15:11

più leggibile:
$r: {(x = 3 ), (y = 2z ):}$
$s: {(x + 1 = 0 ), (z - 2y = 0 ):}$
$pi: 2x - y + z + 4 = 0$
determinare il piano $alpha$ contenente $r$ e parallelo ad $s$;
e il piano $beta$ passante per $A=rnnpi$, $B=snnpi$ e ortogonale a $pi$.
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Messaggioda dissonance » 23/09/2008, 15:29

Per il primo puoi fare in vari modi. Quello più standard si basa sull'osservazione che la giacitura del piano $alpha$ è necessariamente lo $"span"(v_r, v_s)$ (dove $v_r, v_s$ sono le direzioni delle rette $r, s$). E' chiaro il motivo di questo o devo spiegarmi meglio? Se è chiaro, allora diventa facile trovare $alpha$: nota la giacitura, basta imporre il passaggio per un punto di $r$ e hai finito.

Altrimenti puoi ragionare in termini di fasci, che forse è più facile. Infatti, da un punto di vista geometrico, l'equazione della retta $r$ descrive l'intersezione di due piani: ${x=3}, {y=2z}$. Noti due piani non paralleli, è noto anche il fascio di asse la loro intersezione, algebricamente ogni piano del fascio avrà per equazione una combinazione lineare delle equazioni dei due piani generatori.

Mi spiego direttamente sul tuo caso:
le due equazioni sono ${x-3=0}, {y-2z=0}$. Questi piani sono sicuramente incidenti, la loro intersezione è $r$. Comunque prendi $lambda, mu$ non tutti e due nulli, $lambda(x-3)+mu(y-2z)=0$ è l'equazione di un piano del fascio. Puoi notare infatti che ogni punto di $r$ soddisfa questa equazione. Perciò al variare di $lambda, mu$ questa equazione descrive tutti i possibili piani dello spazio contenenti $r$. Per determinare $lambda, mu$ si impone la condizione di parallelismo con $s$.

P.S.: Ah comunque, in genere qua sopra quando si chiede aiuto su un esercizio poi si specifica su cosa si hanno problemi, oppure si posta anche un abbozzo di soluzione, insomma non si lascia solo la traccia nuda e cruda. Non per galateo o per convenevoli vari, ma perché effettivamente aiuta molto chi volesse rispondere! Per stavolta mi sono fatto intenerire visto che domani hai un esame, ma dalla prossima... :-D :-)
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Messaggioda dissonance » 23/09/2008, 18:24

Riguardando il problema, anche il secondo punto si può fare col metodo che prima ho chiamato "standard": trovi la giacitura di $beta$ e imponi il passaggio per un punto. Infatti la giacitura deve necessariamente essere lo spazio vettoriale generato da un vettore ortogonale a $pi$ e da $\vec{AB}$. Mi pare il metodo più semplice. Comunque se qualcosa non è chiaro posta pure!
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Messaggioda FireWoman » 24/09/2008, 16:19

Ti ringrazio! Si scusami hai perfettamente ragione è solo che ero presa dalla foga dello studio e della tensione comprendimi XD
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