problema di geometria

[ignorante]

Ciao vorrei sapere se il seguente problema che ho svolto è corretto:

Due circonferenze sono tangenti ad una stessa retta r ed i loro raggi misurano 3 e 5.

Una retta s parallela ad r ha distanza x da r ed interseca entrambe le circonferenze.

Determinare quali valori deve avere x affinchè sia massima:

a)la somma dei quadrati delle corde intercettate dalle due circonferenze su s;

b)la somma delle corde intercettate dalle due circonferenze su s.

Io ho ragionato cosi':


R=5 (raggio maggiore) ; r=3 (raggio minore)

C=semi corda maggiore ; c=semi corda minore

a)

Con Pitagora ricavo le semi corde:

\(\displaystyle C^2 = R^2 - (R-x)^2 = 25 - (5-x)^2 \)

\(\displaystyle C^2 = -(x^2 - 10x + 25) + 25 \)

\(\displaystyle C^2 = - x^2 + 10x \)


\(\displaystyle c^2 = r^2 - (r-x)^2 = 9 - (3-x)^2 \)

\(\displaystyle c^2 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 \)

\(\displaystyle c^2 = - x^2 + 6x \)


\(\displaystyle 2C = 2√(-x^2 + 10x) \)

\(\displaystyle 2c = 2√(-x^2 + 6x) \)


\(\displaystyle y = (2C)^2 + (2c)^2 \)

\(\displaystyle y = 4(-x^2 + 10x) + 4(-x^2 + 6x) \)

\(\displaystyle y = -8x^2 + 64x \)

Ricavo la derivata:

\(\displaystyle y'= -16x + 64 \)

La pongo uguale a zero:

\(\displaystyle -16x + 64 = 0 \)

\(\displaystyle x = 64/16 = 4 \)


b)

\(\displaystyle y = 2C + 2c \)

\(\displaystyle y = 2√(-x^2 + 10x) + 2√(-x^2 + 6x) \)

\(\displaystyle y' = (6-2x)/√(6x-x^2) + (10-2x)/√(10x-x^2) \)

\(\displaystyle (6-2x)/√(6x-x^2) + (10-2x)/√(10x-x^2) = 0 \)

\(\displaystyle x=15/4 \)

Secondo voi è corretto?

Grazie in anticipo!

[gio73]

Per il punto a) ho ottenuto il tuo stesso risultato.
Personalmente ho provato a risolverlo senza scomodare le derivate. Ho ragionato così: la funzione ottenuta è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, di conseguenza per trovare l'ascissa del massimo basta trovare l'ascissa del vertice (\( \displaystyle -\frac{{b}}{{{2}{a}}} \)).