[Meccanica razionale] Problema di meccanica celeste

[matths87]

Una distribuzione uniforme di materia a bassa densità nel sistema solare aggiungerebbe all'attrazione gravitazionale del Sole su un pianeta una forza aggiuntiva

\( \displaystyle {\vec{{{F}}}}=-{m}{C}{\vec{{{r}}}} \)

dove \( \displaystyle {m} \) è la massa del pianeta e \( \displaystyle {C} \) una costante di proporzionalità. Si consideri questa forza aggiuntiva molto piccola rispetto alla forza gravitazionale tra il Sole ed un pianeta dovuta al potenziale \( \displaystyle {U}=-\frac{{k}}{{r}} \).
1) calcolare il periodo di rivoluzione del pianeta per un'orbita circolare di raggio \( \displaystyle {r}_{{0}} \);
2) calcolare il periodo delle oscillazioni radiali per piccole deviazioni dall'orbita circolare.

Sinceramente non so da dove partire. Potete darmi un suggerimento (mi basta anche un input)?

[Thomas]

hint:
calcola prima \( \displaystyle {r}_{{0}} \) in qualche modo in funzione di parametri cinematici o simili (se sta ad una determinata distanza, dovrà avere anche un certo momento angolare o una certa velocità per esempio). (Lagrangiana con derivate nulle oppure forza centripeta).

Una volta che hai \( \displaystyle {r}_{{0}} \) scrivi \( \displaystyle {r}={r}_{{0}}+{a} \), scrivi qualche equazione che ti regoli il moto di r (lagrangiana oppure energia) e sviluppa al primo ordine in \( \displaystyle {a} \), ovviamente usando il fatto che \( \displaystyle {r}_{{0}} \) è punto di equilibrio e rispetterà certe equazioni... (credo tu possa considerare dello stesso ordine a ed d/dt a)