problema esercizi algebra

[jdluk87]

Salve, mi presento che sono nuovo del forum, sono uno studente di informatica e come tale studio algebra a un livello diciamo bassino...prettamente il programma consiste in aritmetica in generale, gruppi, permutazioni, isomorfismi e poi altra roba che ancora devo ripassare, però ho i miei primi problemi sui gruppi. Spero possiate darmi una mano

1) Ricordando le proprietà che caratterizzano i sottogruppi determinare tutti i sottogruppi del gruppo (U12,x)

In questo caso nn ho problemi perchè il gruppo è relativamente piccolo e quindi prendo ogni suo elemento e genero il gruppo a partire da questo, però un altro esercizio mi dice di fare la stessa cosa con il gruppo (Z143,+) e qui ci sono 143 elementi...come posso fare??

2) Verificare quali fra i seguenti gruppi sono ciclici: U36,x Z209,+ ecc....

so che un gruppo è ciclico se un suo elemento genera tutto il gruppo...ma non credo che per Z209 debba provare finche non trovo un generatore che ha questa caratteristica...cioè magari si trova subito ... ma è possibile secondo voi che non si trovi proprio e quindi si facciano 209 tentativi a vuoto...dico "209" a caso...in Z209 magari c'è appunto...pero se capita un caso del genere in cui non c'è come si fa a dirlo subito.


Spero possiate aiutarmi.

Siccome le convenzioni nn sono mai lo stesse...tengo a precisare che Zm è l'insieme delle classi di congruenza modulo m.
Mentre Um è l'insieme degli invertibili di Zm ovvero degli elementi classe a tale che il MCD fra a e m è = 1.

Grazie

[jdluk87]

*edit* Zm = insieme delle classi resto modulo m

dovevo forse postare nella sezione università?

[Tipper]

Per il primo puoi sfruttare il th. di Lagrange.

Per quanto riguarda il secondo, il gruppo additivo \( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Z}}}}_{{m}},+\rightrangle} \) è ciclico per ogni \( \displaystyle {m}\in{\mathbb{{{Z}}}}\backslash{\left\lbrace{0}\right\rbrace} \), in quanto generato da \( \displaystyle {\left\lbrace{1}\right\rbrace} \) o da \( \displaystyle {\left\lbrace-{1}\right\rbrace} \).
Invece il gruppo moltiplicativo \( \displaystyle {\leftlangle{U}_{{m}},\cdot\rightrangle} \) è cilico se e soltanto se

* \( \displaystyle {m}={1},{2},{4} \), oppure
* \( \displaystyle {m}={{p}}^{{n}} \), dove \( \displaystyle {p} \) è un primo dispari e \( \displaystyle {n}\in{\mathbb{{{N}}}} \), oppure
*\( \displaystyle {m}={2}{{p}}^{{n}} \), dove \( \displaystyle {p} \) è un primo dispari e \( \displaystyle {n}\in{\mathbb{{{N}}}} \)

La dimostrazione di quest'ultimo fatto è piuttosto complessa...

[jdluk87]

grazie innanzitutto per avermi risposto...per il secondo tutto apposto, al livello di come faccio algebra io la prof nn chiederà quelle dimostrazioni se sono complicate, quindi si accontenterà della regola.

Il primo il teorema di Lagrange io l'ho nel seguente enunciato: Se G è un gruppo contenente n elementi e S è un suo sottogruppo contenente m elementi, allora n=mi, dove i è l'indice di S in G.

Detto ciò...come dovrei usarlo?

[Tipper]

Sfruttando il th. di Lagrange e il fatto che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico, puoi concludere che ogni sottogruppo di \( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Z}}}}_{{n}},+\rightrangle} \) è ciclico e ha ordine divisore di \( \displaystyle {n} \).

L'ordine di \( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Z}}}}_{{{143}}},+\rightrangle} \) è \( \displaystyle {143} \), dato che \( \displaystyle {143}={11}\cdot{13} \), i sottogruppi di \( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Z}}}}_{{{143}}},+\rightrangle} \) possono avere ordine pari a \( \displaystyle {1},{11},{13} \) o \( \displaystyle {143} \). Quindi, se non erro, direi che gli unici sottogruppi sono (ometto il \( \displaystyle + \))

\( \displaystyle {\left\lbrace{0}\right\rbrace} \) (gruppo ciclico generato da \( \displaystyle {0} \), che ha ordine \( \displaystyle {1} \) in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{{143}}} \))

\( \displaystyle {\left\lbrace{0},{11},{22},\ldots,{132}\right\rbrace} \) (gruppo ciclico generato da \( \displaystyle {11} \), che ha ordine \( \displaystyle {13} \) in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{{143}}} \))

\( \displaystyle {\left\lbrace{0},{13},{26},\ldots,{130}\right\rbrace} \) (gruppo ciclico generato da \( \displaystyle {13} \), che ha ordine \( \displaystyle {11} \) in \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{{143}}} \))

\( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{{143}}} \)

[jdluk87]

ok adesso è tutto chiarissimo...ti ringrazio per tt le info

[jdluk87]

un ultima cosa...questo ragionamento che hai fatto per Zm vale anche per Um??

[jdluk87]

ancora una domanda...per Z30...ho problemi nel senso che 30=15x2 ma anche a 5x6 e 3x10 quindi devo scegliere solo uno di questi prodotti? se si quale e perche? oppure devo fare il ragionamento per ogni prodotto?

grazie

[jdluk87]

ecco un altro dubbio....scusate se tempesto di domande il post ma facendo esercizi capitano quelli che non so fare...quando invece (Q,+) e (Q,x) sono ciclici...con Q insieme dei razionali?

[Tipper]

un ultima cosa...questo ragionamento che hai fatto per Zm vale anche per Um??

Non proprio, perché non per tutti gli \( \displaystyle {m}\in{\mathbb{{{N}}}} \) \( \displaystyle {U}_{{m}} \) è ciclico. Vale sempre il discorso sugli ordini.

ancora una domanda...per Z30...ho problemi nel senso che 30=15x2 ma anche a 5x6 e 3x10 quindi devo scegliere solo uno di questi prodotti? se si quale e perche? oppure devo fare il ragionamento per ogni prodotto?

\( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Z}}}}_{{{30}}},+\rightrangle} \) è ciclico ed ha ordine \( \displaystyle {30} \), i suoi sottogruppi sono quindi ciclici e hanno ordine divisore di \( \displaystyle {30} \). I divisori positivi di \( \displaystyle {30} \) sono \( \displaystyle {1},{2},{3},{5},{6},{10},{15},{30} \) (spero di non essermi scordato di nessuno), pertanto i sottogruppi che cerchi saranno i gruppi ciclici generati dagli elementi di \( \displaystyle {\mathbb{{{Z}}}}_{{{30}}} \) che hanno ordine \( \displaystyle {1},{2},{3},{5},{6},{10},{15},{30} \). Non so se mi sono spiegato...

ecco un altro dubbio....scusate se tempesto di domande il post ma facendo esercizi capitano quelli che non so fare...quando invece (Q,+) e (Q,x) sono ciclici...con Q insieme dei razionali?

\( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Q}}}},+\rightrangle} \) e \( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Q}}}}\backslash{\left\lbrace{0}\right\rbrace},\cdot\rightrangle} \) non sono gruppi ciclici. Ricorda che \( \displaystyle {\leftlangle{\mathbb{{{Q}}}},\cdot\rightrangle} \) non è un gruppo.