Problema: massima area triangolo

[shintek20]

Sulla semicirconferenza di diametro \( \displaystyle {A}{B}={2}{r} \) determinare il punto P per il quale sia massima l'area del triangolo PHB,essendo H la proiezione di P su AB.
Ecco come mi è venuta la figura:



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Ho fatto:

\( \displaystyle {A}=\frac{{{P}{H}\cdot{H}{B}}}{{2}} \)

\( \displaystyle {P}{H}={x} \)

\( \displaystyle {H}{O}=\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}} \)

\( \displaystyle {H}{B}={H}{O}+{O}{B} \)

\( \displaystyle {H}{B}=\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}}+{r} \)

\( \displaystyle {A}=\frac{{{x}{\left(\sqrt{{{{r}}^{{2}}-{{x}}^{{2}}}}+{r}\right)}}}{{2}} \)

La derivata prima
http://www.numberempire.com/derivatives ... =x&order=1

Vorrei sapere se fino a qui è giusta...ma non credo, la derivata mi sembra troppo strana...e poi come dovrei continuare con quel 'mostro' di disequazione del numeratore?

[@melia]

È giusto ed è giusta anche la derivata, ma come hai osservato anche tu è un po' bruttina, comunque è una normale disequazione irrazionale.
Se non vuoi immergerti in conti del genere ti consiglio di cambiare incognita: con l'incognita sull'angolo \( \displaystyle {\hat{{{O}{B}{P}}}} \) e le basi della trigonometria mi pare che venga più semplice come calcoli.

[shintek20]

Mmmh...ma come dovrebbe venire la disequazione?Non riesco ad impostarmela...
Ho provato anche come dici tu,con l'incognita dell'angolo,L'area mi viene uguale a :

\( \displaystyle {A}={2}{r}{{\cos}}^{{3}}{x}{s}{e}{n}{x} \)
E' giusta?

[@melia]

Sì.

[vittorino70]

Sinceramente avrei posto BH=x e quindi AH =2r-x.Col 2° di Euclide calcolo subito PH:
\(\displaystyle PH=\sqrt{BH\cdot AH}=\sqrt{x(2r-x)} \)
Di conseguenza l'area richiesta diventa:
\(\displaystyle A=\frac {1}{2}BH \cdot PH=\frac{1}{2}x\sqrt{2rx-x^2}\)
A questo punto ,per evitare calcoli fastidiosi ed... insidiosi,ci sono due strade percorribili.

1) Porto il fattore positivo x sotto radice:
\(\displaystyle A=\frac{1}{2}\sqrt{2rx^3-x^4} \)
e poi m'interesso solo della funzione :
\(\displaystyle f(x)=2rx^3-x^4 ,0<x<2r \)
che ,essendo razionale intera, è assai più facile da derivare e discutere.

2) Osservo che si può scrivere così:
\(\displaystyle f(x) = (x)^3(2r-x) \)
Poiché (x) +(2r-x)=2r=costante, quella funzione prende il massimo quando le basi sono proporzionali agli esponenti ( regola da tener presente,secondo me !) e perciò abbiamo il massimo di f(x) ( e quindi di A) quando è :
\(\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{2r-x}{1} \) .Da qui ricavo che deve essere \(\displaystyle x=\frac{3}{2}r \) che è accettabile.
Questo risultato è intepretabile geometricamente col dire che il triangolo di area massima richiesto è il semitriangolo equilatero .