Problema matrice reale simmetrica,autovalori (dimostrazione)

[germano88]

Salve a tutti ...avrei da proporvi un esercizio:
dato \( \displaystyle {A}= \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}&{b}\\{b}&{c}}\right)} \) matrice reale simmetrica......con:
a) autovalori \( \displaystyle {2} \) e \( \displaystyle {3} \) e,
b) : \( \displaystyle {A}\cdot{\left({1},{1}\right)}={2}\cdot{\left({1},{1}\right)}\ldots..\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{T}{r}{o}{v}{a}{r}{e}{c}\){u}{n}{a}{b}{a}{s}{e}{d}{i} \)R^2\( \displaystyle {f{{\quad\text{or}\quad}}}{m}{a}{t}{a}{d}{a}{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{i}{d}{i} \)A\( \displaystyle \ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}\){D}{e}{t}{e}{r}\min{a}{r}{e}{l}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e} \)A\( \displaystyle \ldots\ldots\ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{H}{o}{c}{e}{r}{c}{a}\to{l}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne{m}{a}{s}{o}{n}{o}{g{{i}}}{u}{n}\to{a}{l}{l}{a}{c}{o}{n}{c}{l}{u}{s}{i}{o}\ne{c}{h}{e}{l}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e}\in{q}{u}{e}{s}{t}{i}{o}\ne,{c}{h}{e}{s}{o}{d}{d}{i}{\mathsf{{a}}}{i}{p}{a}{r}{a}{m}{e}{t}{r}{i}{s}{i}{a} \)((2,0),(0,3))$
ma non soddisfa il punto b)
Non so come fare ,se qualcuno ha da propormi qualcosa gli sarei molto grato....!!!

[Sergio]

Hai semplicemente "trovato" la matrice diagonale degli autovalori....
Metti invece insieme le informazioni che hai:
1) \( \displaystyle {A} \) è una matrice simmetrica \( \displaystyle {2}\times{2} \);
2) i suoi autovalori sono \( \displaystyle {2} \) e \( \displaystyle {3} \), quindi \( \displaystyle {A} \) è simile alla matrice che hai "trovato" e che chiamo \( \displaystyle {L} \); dato che matrici simili hanno la stessa traccia, la traccia di \( \displaystyle {A} \) è uguale a quella di \( \displaystyle {L} \), ovvero \( \displaystyle {a}+{c}={2}+{3}={5} \);
3) \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}&{b}\\{b}&{c}}\right)}{\left(\matrix{{1}\\{1}}\right)}={2}{\left(\matrix{{1}\\{1}}\right)}={\left(\matrix{{2}\\{2}}\right)} \), quindi \( \displaystyle {a}+{b}={2} \) e \( \displaystyle {b}+{c}={2} \).
Ce n'è abbastanza per un sistemino di 3 equazioni con le tre incognite \( \displaystyle {a},{b},{c} \)...

[franced]

Salve a tutti ...avrei da proporvi un esercizio:
dato \( \displaystyle {A}= \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}&{b}\\{b}&{c}}\right)} \) matrice reale simmetrica......con:
a) autovalori \( \displaystyle {2} \) e \( \displaystyle {3} \) e,
b) : \( \displaystyle {A}\cdot{\left({1},{1}\right)}={2}\cdot{\left({1},{1}\right)}\ldots..\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{T}{r}{o}{v}{a}{r}{e}{c}\){u}{n}{a}{b}{a}{s}{e}{d}{i} \)R^2\( \displaystyle {f{{\quad\text{or}\quad}}}{m}{a}{t}{a}{d}{a}{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{i}{d}{i} \)A\( \displaystyle \ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}\){D}{e}{t}{e}{r}\min{a}{r}{e}{l}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e} \)A\( \displaystyle \ldots\ldots\ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{r}{o}{p}{o}{n}{g{{o}}}{u}{n}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne{a}\lt{e}{r}{n}{a}{t}{i}{v}{a}{a}{q}{u}{e}{l}{l}{a}{d}{i}{S}{e}{r}{g{{i}}}\odot\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{S}{e} \)(1,1)^T\( \displaystyle è{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e},{a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a} \)(1,-1)^T\( \displaystyle è{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}{r}{e}{l}{a}{t}{i}{v}{o}{a} \)\lambda=3\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{L}{a}{t}{u}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e}{s}{i}{t}{r}{o}{v}{a},{q}{u}\in{d}{i},{i}{m}{p}{o}\ne{n}{d}{o}{c}{h}{e}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)A (1,1) = (2,2)\( \displaystyle \lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt} \)A(1,-1) = (3,-3)$

[germano88]

Si è verissimo grazie 1000 a tt e due...!!!!

[mistake89]

Salve a tutti ...avrei da proporvi un esercizio:
dato \( \displaystyle {A}= \) \( \displaystyle {\left(\matrix{{a}&{b}\\{b}&{c}}\right)} \) matrice reale simmetrica......con:
a) autovalori \( \displaystyle {2} \) e \( \displaystyle {3} \) e,
b) : \( \displaystyle {A}\cdot{\left({1},{1}\right)}={2}\cdot{\left({1},{1}\right)}\ldots..\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{T}{r}{o}{v}{a}{r}{e}{c}\){u}{n}{a}{b}{a}{s}{e}{d}{i} \)R^2\( \displaystyle {f{{\quad\text{or}\quad}}}{m}{a}{t}{a}{d}{a}{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{i}{d}{i} \)A\( \displaystyle \ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{d}\){D}{e}{t}{e}{r}\min{a}{r}{e}{l}{a}{m}{a}{t}{r}{i}{c}{e} \)A\( \displaystyle \ldots\ldots\ldots\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{P}{r}{o}{p}{o}{n}{g{{o}}}{u}{n}{a}{s}{o}{l}{u}{z}{i}{o}\ne{a}\lt{e}{r}{n}{a}{t}{i}{v}{a}{a}{q}{u}{e}{l}{l}{a}{d}{i}{S}{e}{r}{g{{i}}}\odot\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{S}{e} \)(1,1)^T\( \displaystyle è{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e},{a}{l}{l}{\quad\text{or}\quad}{a} \)(1,-1)^T\( \displaystyle è{a}{u}\to{v}{e}{\mathtt{{\quad\text{or}\quad}}}{e}{r}{e}{l}{a}{t}{i}{v}{o}{a} \)\lambda=3\( \displaystyle .\lt{b}\frac{{r}}{\gt}\frac{\lt}{\div}\gt\frac{\lt}{{b}}{l}{o}{c}{k}{q}{u}{o}{t}{e}\gt\lt{b}\frac{{r}}{\gt}{F}{r}{a}{n}{c}{e}{d}{m}{i}{s}\pi{e}{g{{h}}}{i}{p}{e}{r}{c}{h}è\propto{r}{i}{o} \)(1,-1)$?

mistake89

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[franced]

Teorema spettrale.

(Sergio: sono troppo sintetico? )

[mistake89]

hai ragionissima, era semplice e non ci ho pensato.
Io ci sono arrivato per via traversa proprio ora, cercando una relazione tra \( \displaystyle {a},{b},{c} \) e poi successivamente tra \( \displaystyle {x},{y} \), ammesso che sia giusto!
Grazie Franced

[Sergio]

Teorema spettrale.
(Sergio: sono troppo sintetico? )

Questa volta direi: molto elegante. Bella soluzione! (ma non è una novità)

[germano88]

mistrake..non ho capito come l hai risolto....nel tuo caso \( \displaystyle {x} \) \( \displaystyle {y} \) cosa rappresentano???

[mistake89]

un generico vettore, mi serve per trovare l'autovettore relativo all'autovalore \( \displaystyle {3} \), ma lascia perdere il metodo e il teorema indicato da Franced è senza dubbio migliore