problema matrici simili

[germano88]

data la matrice A= \( \displaystyle {\left.\matrix{{{k}}^{{2}}&{1}&{k}-{3}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{9}}\right.} \)
determinare , posto k=3 una matrice B che abbia lo stesso polinomio caratteristico di A ma che non sia simile ad A .......
come faccio?? qualcuno ha qlk suggerimento???

[franced]

Scrivi intanto la matrice con \( \displaystyle {k}={3} \), poi guardala attentamente..

[germano88]

\( \displaystyle {\left.\matrix{{9}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{9}}\right.} \) ...questa è la matrice.....due matrici sono simili qnd hanno polinomio caratteristico., stessa traccia , stesso rango,,,no??? quindi l unica cosa che posso cambiare per farla risultare non simile è il rango giusto?
e come faccio?

[franced]

Attenzione: le matrici

\( \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \) e \( \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \)

hanno lo stesso polinomio caratteristico ma non sono simili!

Quindi non basta che due matrici abbiano lo stesso polinomio caratteristico per essere simili;
avere lo stesso polinomio caratteristico è una condizione necessaria ma non sufficiente (il mio esempio
ti dovrebbe aiutare a risolvere il tuo problema..)

[germano88]

0k ho capito ma quello che mi chiedevo, è : dato che la matricè risulta:\( \displaystyle {\left.\matrix{{9}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{9}}\right.} \) la matrice \( \displaystyle {B} \) che devo trovare deve avere lo stesso polinomio caratteristico e quindi l unica cosa che posso cambiare della matrice \( \displaystyle {A} \) è il suo rango ,,perchè per avere stesso polinomio la traccia deve essere uguale, il problema è che non riesco a trovare nessun valore per cui rango A sia diversa dal rango di B......

[franced]

Prova a guardare gli autospazi..

[germano88]

io devo trovare due matrici non simili...!!!

[franced]

Lo so, ma devono avere lo stesso polinomio caratteristico!

[franced]

Altro suggerimento: guarda l'esempio 2x2 che ho scritto prima..
guarda gli autospazi delle due matrici: cosa osservi?

[germano88]

l autospazio relativo all autovettore \( \displaystyle {9} \) è \( \displaystyle {\left.\matrix{{0}&{1}&{0}\\{0}&-{8}&{0}\\{0}&{0}&{0}}\right.} \) mentre quello relativo all autovalore\( \displaystyle {1} \) è \( \displaystyle {\left.\matrix{{8}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{8}}\right.} \) .......negli autospazi osservo che nel primo caso ha rango 1 e nel secondo =2....