Problema:prodotto massimo

[shintek20]

Salve,scusate se è il 2 messaggio in poco meno di 24,ma sono di nuovo alle prese con questi problemi di massimo e minimo, che purtroppo non riesco proprio a capire .
Nel caso in cui le radici \( \displaystyle {x}_{{1}} \) e \( \displaystyle {x}_{{2}} \) dell'equazione:
\( \displaystyle {\left({m}-{1}\right)}{{x}}^{{2}}-{2}{\left({m}-{1}\right)}{x}+{3}{m}-{1}={0}{\left({m}\ne{1}\right)} \)
Siano reali e positive,determinare per quale valore di m il prodotto \( \displaystyle {x}_{{1}}\cdot{x}_{{2}} \) è massimo.
Come potrei iniziare e continuare?

[gio73]

Non saprei... prova a scrivere come otteresti le due radici, imponi che il delta sia maggiore di 0, e poi vedi che succede a moltiplicarle... se ti salta fuori una funzione di m, prova a vedere se si può trovare un massimo tenendo conto delle condizioni imposte.

[giannirecanati]

Non conosco le derivate quindi lo faccio sfruttando la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica.
Chiamo \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) le due radici, la loro somma vale \(\displaystyle \frac{-b}{a}=\frac{2(m-1)}{m-1}=2 \), il prodotto è invece: \(\displaystyle \frac{3m-1}{m-1} \). Adesso siccome \(\displaystyle \alpha+\beta=2 \), il prodotto \(\displaystyle \alpha\beta \) è massimo quando vale il segno di uguaglianza in AM-GM, ovvero \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\geq \sqrt{\alpha\beta} \Rightarrow \alpha\beta=1 \), quindi quando \(\displaystyle \alpha=\beta \Rightarrow m=0\).

[shintek20]

Non conosco le derivate quindi lo faccio sfruttando la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica.
Chiamo \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) le due radici, la loro somma vale \(\displaystyle \frac{-b}{a}=\frac{2(m-1)}{m-1}=2 \), il prodotto è invece: \(\displaystyle \frac{3m-1}{m-1} \). Adesso siccome \(\displaystyle \alpha+\beta=2 \), il prodotto \(\displaystyle \alpha\beta \) è massimo quando vale il segno di uguaglianza in AM-GM, ovvero \(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\geq \sqrt{\alpha\beta} \Rightarrow \alpha\beta=1 \), quindi quando \(\displaystyle \alpha=\beta \Rightarrow m=0\).

Mi dispiace,ma non conosco il procedimento,che hai utilizzato...

[shintek20]

Non saprei... prova a scrivere come otteresti le due radici, imponi che il delta sia maggiore di 0, e poi vedi che succede a moltiplicarle... se ti salta fuori una funzione di m, prova a vedere se si può trovare un massimo tenendo conto delle condizioni imposte.

\( \displaystyle {x}=\frac{{{\left({m}-{1}\right)}\pm\sqrt{{{{\left({m}-{1}\right)}}^{{2}}-{\left({m}-{1}\right)}{\left({3}{m}-{1}\right)}}}}}{{{\left({m}-{1}\right)}}} \)
E adesso come posso procedere?

[gio73]

Ricordati di imporre le condizioni inziali: m diverso da 1, e il delta maggiore di 0, poi le soluzioni sono 2, una con il segno + davanti alla radice, l'altra con il segno -, scrivile separate e poi moltiplicale, lo faccio anch'io, ma non scrivo i passaggi al computer perchè mi fa troppa fatica, poi vediamo dove siamo arrivati.

[shintek20]

Ok fatto:
Soluzioni reali e positive: \( \displaystyle {x}€\]{0},{1}{\left[\right.} \)
Prodotto delle due soluzioni:

\( \displaystyle \frac{{{3}{{m}}^{{2}}-{4}{m}+{1}}}{{{\left({m}-{1}\right)}}^{{2}}} \)
Giusto?Come procedo?

[giannirecanati]

Ciao Shintek, ascolta: se ho due numeri \(\displaystyle a+b=2 \), quando si ha il massimo prodotto \(\displaystyle ab \)? Non ti resta che dimostrare che il prodotto è massimo quando \(\displaystyle a=b \). E' lo stesso problema.

[shintek20]

Ciao Shintek, ascolta: se ho due numeri \(\displaystyle a+b=2 \), quando si ha il massimo prodotto \(\displaystyle ab \)? Non ti resta che dimostrare che il prodotto è massimo quando \(\displaystyle a=b \). E' lo stesso problema.

Purtroppo il problema è un altro:la mia professoressa non 'vuole' che li faccia cosi,o meglio non li abbiamo mai fatti cosi,ma tramite le derivate...

[vittorino70]

Come ti è stato già detto il prodotto delle radici è:
\(\displaystyle f(m)=x_1\cdot x_2=\frac{3m-1}{m-1} ,0\leq m <1 \)
Derivando rispetto ad m hai:
\(\displaystyle f'(m)=-\frac{2}{(m-1)^2} \)
Come vedi la derivata è sempre negativa nell'intervallo che interessa.Ciò significa che la f(m),che rappresenta
il prodotto, è sempre decrescente in quell'intervallo e quindi prende il suo valore massimo all'inizio dell'intervallo
medesimo.Ovvero per m=0.Come aveva già previsto GianniRecanati.