Problema spira in campo magnetico

[minavagante]

ciao a tutti,
ho un piccolo problemino con due spire, ecco il testo dell'esercizio:
Una spira piana circolare di raggio R = 1 m è percorsa da una corrente I = 100 A. Una seconda
spira piana circolare di raggio r = 5 cm, giace nello stesso piano della prima spira ed è concentrica con essa.
a) Determinare l’intensità ed il verso (rispetto a quello della corrente nella prima spira) della corrente i nella seconda spira affinché il campo magnetico complessivo nel centro delle due spire sia uguale ed opposto a quello determinato dalla prima spira soltanto;
b) Calcolare, a partire dalle condizioni di cui al punto a), il lavoro necessario per ruotare la seconda spira di 180°.

Il primo punto ok, viene \( \displaystyle {i}={2}{r}\frac{{I}}{{R}} \)
Ora ho un problema per la seconda domanda: la soluzione dell'esercizio la fa tramite l'energia potenziale, mentre io volevo utilizzare questa \( \displaystyle \int\tau{d}\theta={L} \) ove ho chiamato \( \displaystyle \tau \) il momento torcente. Ho proceduto così:
\( \displaystyle \mu={i}{a}{u}_{{n}} \) ove \( \displaystyle \mu \) è il momento di dipolo magnetico della spira, a la sua area, \( \displaystyle {u}_{{n}} \) è il versore dell'area. La spira piccola è immersa in un campo magnetico \( \displaystyle {B}={\frac{{\mu{o}{I}}}{{{2}{R}}}} \) generato dalla spira grande. Quindi il momento istantaneo che agisce sulla spira è dato da \( \displaystyle \tau={\frac{{{i}{a}\mu{o}{I}{\sin{\theta}}}}{{{2}{R}}}} \). Momento di dipolo e campo magnetico hanno stessa direzione inizialmene ma versi opposti quindi si parte con un angolo \( \displaystyle \theta \) iniziale di \( \displaystyle \pi \) e si giunge ad un angolo finale 0. E qui ho i primi dubbi: una spira immersa in campo magnetico non tende a posizionarsi in modo da avere il flusso concatenato massimo??? Allora non interessa il verso del campo magnetico, ma solo la direzione siccome sono sfasati di 180 e il prodotto vettoriale fa o quindi \( \displaystyle \tau={0} \).
Ma andiamo avanti:il prodotto nell'integrale per trovare il lavoro è scalare no??? Integro il momento con \( \displaystyle \theta \) che varia da \( \displaystyle \pi \) a 0 e poi applico:
\( \displaystyle {L}=\int\tau{\cos{\alpha}}{d}\alpha \) il momento \( \displaystyle \tau \) riesptto a \( \displaystyle {d}\alpha \) che direzione ha??? Aiuto
grazie a tutti

[mootyna]

Accidenti che caspiterina di problemi che ti danno... però non sono male. Cerco di capire come si fa. Cmq il momento meccanico o torcente è nullo se e solo se il momento di dipolo magnetico e il campo magnetico in cui è immersa la spira sono paralleli e quindi l'angolo tra di essi è nullo. Il lavoro te lo calcoli attraverso l'energia potenziale pari a \( \displaystyle -{i}\cdot{a}\cdot{B}\cdot{\cos{\theta}} \) dove \( \displaystyle \theta \) è ovviamente l'angolo tra momento di dipolo e campo. Questo angolo all'inizio è 0? sei sicuro?

[strangolatoremancino]

Io non so come affrontare il problema mi spiace, ma per il calcolo del lavoro necessario a ruotare la spira più piccola, non va tenuto conto anche che la rotazione di quest'ultima, essendo questa immersa in un campo magnetico, produce in essa una corrente indotta?

[mootyna]

minavagante allora la corrente della spira più piccola mi viene uguale alla tua in modulo e opposta di segno... ora vado avanti.

[mootyna]

Strangolatoremancino quello che dici tu non è in questo caso, poichè il campo magnetico non è costante e continuamente distribuito nello spazio, ma è solo quello dovuto alle due spire esattamente nel loro centro. Se la secondo spira fosse stata all'interno di un solenoide sarebbe valso quello che dici tu ( spero di non aver detto bestialità).

[minavagante]

si non calcolarlo tramite l'energia potenziale che così mi viene, ma volevo calcolarlo tramite l'integrale

[minavagante]

comunque riguardo il momento è dato dal rapporto vettoriale del momento di dipolo magnetico per il campo magnetico B in cui la spira è immersa. Ho letto adesso, non mi ricordo dove, che se la spira è orietnat di 180°gradi, quindi il versore dell'area della spira è opposto rispetto al verso del campo, il momento è si nullo, ma è in una condizione di instabilità, in quanto appena si muove la spira essa tende a girarsi.
Non ho capito il discorso della corrente indotta al centro...spiega

[mootyna]

Il discorso dell'instabilità è giusto. Il discorso della corrente indotta, era per dire che va calcolata quando la spira è completamente immersa in un campo magnetico equiverso e costante, o almeno così sapevo io.
Cmq l'integrale che hai scritto tu è proprio la variazione di energia potenziale se non sbaglio.

[strangolatoremancino]

Ho pensato che se la spira più piccola ruota, essendoci in quella regione di spazio una campo magnetico dovuto alla spira più grande, allora c'è una variazione del flusso del campo magnetico concatenato alla spira, quindi c'è corrente indotta, secondo la legge dell'induzione di Faraday. Non so come si calcoli il campo magnetico all'interno di una spira circolare ( a parte nel centro), ma certamente c'è, quindi la spira piccola ha un suo flusso concatenato e se ruota c'è variazione di questo flusso, quindi c'è corrente indotta, e per produrre corrente indotta cioè per far ruotare la spira occorre energia. Il fatto è che già nella spira circola corrente quindi la vedo grigia...

[minavagante]

Perchè qui, io ho fatto un'ipotesi: che la spira in centro, viste le dimensioni rispetto l'altra è talmente piccola da essere immersa in un campo B (dovuto allaprima) costante. Altrimenti presumo, bisognava scrivere un'espressione per il campo in base alle coordinate xyz e poi il calcolo diviene troppo complicato.
Comunque un motore elettrico funziona proprio così, spira immersa in un campo magnetico (supponiamo uniforme) e quindi il flusso magnetico è dato da:
\( \displaystyle \Phi_{{B}}={B}{A}{\cos{\theta}} \) e \( \displaystyle \theta \) varia \( \displaystyle \theta=\omega{t} \). Quindi si creerà una f.e.m. indotta \( \displaystyle {E}=-{d}\frac{\Phi_{{b}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}={B}{A}\omega{\sin{{\left(\omega{t}\right)}}} \)