Problema su ellisse

[Phaedrus]

Un'ellisse con centro in \( \displaystyle {O}{\left({0};{0}\right)} \) e con i fuochi sull'asse \( \displaystyle {x} \) passa per il punto \( \displaystyle {P}{\left({1};\frac{{3}}{{2}}\right)} \) e ha eccentricità uguale a \( \displaystyle \frac{{1}}{{2}} \). Trovare l'equazione dell'ellisse.

L'equazione in forma canonica è \( \displaystyle \frac{{{x}}^{{2}}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{{y}}^{{2}}}{{{b}}^{{2}}}={1} \), con \( \displaystyle {a}\gt{b} \); imponendo il passaggio per \( \displaystyle {P} \) si ha

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{\frac{{9}}{{4}}}}{{{b}}^{{2}}}={1} \)

sappiamo poi che \( \displaystyle {{c}}^{{2}}={{a}}^{{2}}-{{b}}^{{2}} \) e che \( \displaystyle \frac{{c}}{{a}}=\frac{{1}}{{2}} \).

A questo punto non riesco a sfruttare queste condizioni per trovare \( \displaystyle {{a}}^{{2}} \) e \( \displaystyle {{b}}^{{2}} \). Come procedo coi calcoli? Li ho già fatti più volte ma non mi trovo mai .

[codino75]

quanto dovrebbe venire?

[MaMo]

...
Come procedo coi calcoli? Li ho già fatti più volte ma non mi trovo mai .

\( \displaystyle {2}{c}={a}\Rightarrow{4}{{c}}^{{2}}={{a}}^{{2}}\Rightarrow{4}{\left({{a}}^{{2}}-{{b}}^{{2}}\right)}={{a}}^{{2}}\Rightarrow{3}{{a}}^{{2}}={4}{{b}}^{{2}} \)

Inserendo questa condizione nell'ellisse si trova:

\( \displaystyle \frac{{1}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{9}}{{{4}{{b}}^{{2}}}}={1}\Rightarrow\frac{{1}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{9}}{{{3}{{a}}^{{2}}}}={1}\Rightarrow\frac{{1}}{{{a}}^{{2}}}+\frac{{3}}{{{a}}^{{2}}}={1}\Rightarrow{{a}}^{{2}}={4}\Rightarrow{{b}}^{{2}}={3} \).

[Phaedrus]

Grazie! Della serie: come uscirsene con eleganza senza fare un mare di calcoli inutili