problema su estensioni

[rikytoro]

Ciao a tutti!
ho un problema su trovare il grado di \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{{7}+{\left(\sqrt{{3}}\right)}}}\right)} \)...io ho osservato che \( \displaystyle \sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}} \) è algebrico e tale estnsione è formata da tutte le espressioni polinomiali di \( \displaystyle \sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}} \)...che una base è \( \displaystyle {\left\lbrace{1},\sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}}\right\rbrace} \)...e che quindi il grado è due...ma è sbagliato...come posso fare?..grazie!

[vict85]

Ciao a tutti!
ho un problema su trovare il grado di \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{{7}+{\left(\sqrt{{3}}\right)}}}\right)} \)...io ho osservato che \( \displaystyle \sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}} \) è algebrico e tale estnsione è formata da tutte le espressioni polinomiali di \( \displaystyle \sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}} \)...che una base è \( \displaystyle {\left\lbrace{1},\sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}}\right\rbrace} \)...e che quindi il grado è due...ma è sbagliato...come posso fare?..grazie!

\( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{{7}+{\left(\sqrt{{3}}\right)}}}\right)} \) è una estensione quadratica di \( \displaystyle {Q}{\left(\sqrt{{{3}}}\right)} \) che è quadratica in \( \displaystyle {Q} \) e quindi ha grado \( \displaystyle {4} \).

[rikytoro]

ok...ma quindi gli elementi della base di \( \displaystyle {\left(\sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}}\right)} \) sono \( \displaystyle {1},\sqrt{{{3}}} \) e poi?...

[Martino]

Ciao!

ok...ma quindi gli elementi della base di \( \displaystyle {\left(\sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}}\right)} \) sono \( \displaystyle {1},\sqrt{{{3}}} \) e poi?...

Il campo \( \displaystyle \mathbb{Q}{\left(\sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}}\right)} \) contiene \( \displaystyle {a}=\sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}} \) e \( \displaystyle {b}=\sqrt{{{3}}} \), che evidentemente sono linearmente indipendenti su \( \displaystyle \mathbb{Q} \), quindi io proverei a dimostrare che \( \displaystyle {\left\lbrace{1},{a},{b},{a}{b}\right\rbrace} \) è una base (nota bene: "una base", non "la base"; le basi della tua estensione sono ovviamente infinite).

[laura.]

ciao! Per trovare il grado dell'estensione puoi calcolare il polinomio minimo di \( \displaystyle \sqrt{{{7}+\sqrt{{{3}}}}} \) su \( \displaystyle {Q} \). Il grado dell'estensione è proprio il grado di questo polinomio...non dimenticare però di verificare che il polinomio che trovi sia irriducibile su \( \displaystyle {Q} \)!

[vict85]

Il principio secondo cui ho detto che è di grado 4 sono i seguenti:
1) contiene una estensione di grado 2 e non è coincidente ad essa
2) esiste la catena di estensioni sopra citata che ha grado al più 4, in realtà ha proprio grado 4.
3) non è una estensione di grado 3 perché non avrebbe una sottoestensione di grado 2...

[rikytoro]

ok..ora ho capito..grazie mille a tutti!